सिरीपीकोस्की ग्राफ पर हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या

मैं इस मंच के लिए नया हूं और सिर्फ एक भौतिक विज्ञानी हूं जो अपने मस्तिष्क को आकार में रखने के लिए ऐसा करता है, इसलिए अगर मैं सबसे सुंदर भाषा का उपयोग नहीं करता हूं तो कृपया अनुग्रह दिखाएं। कृपया यह भी टिप्पणी छोड़ दें, यदि आपको लगता है कि अन्य टैग अधिक उपयुक्त होंगे।

मैं हल करने के लिए कोशिश कर रहा हूँ इस समस्या है जिसके लिए मैं Hamiltonian चक्र की संख्या की गणना करने की जरूरत है में वें क्रम सिएरपिन्स्की-ग्राफ । (कृपया सीरपिन्स्की-ग्राफ की परिभाषा और चित्रों के लिए उपरोक्त लिंक भी देखें) $C(n)$ $n$ $S_n$

मैंने पाया , लेकिन मैंने कुछ गड़बड़ कर दी है, क्योंकि मेरा समाधान दिए गए मान मेल नहीं खाता है । मेरे तर्क में बहुत बुनियादी विचार हैं, और मैं गलती नहीं खोज सकता। कोई भी मदद बहुत ही सराहनीय होगी। यहां तक कि अगर यह लंबा लगता है, तो विचार तुच्छ हो जाते हैं यदि आप ग्राफ़ का अनुसरण करते समय देखते हैं। $C(n)$ $C(5) = 71328803586048$

(a) दिए गए ग्राफ में बाहरी कोनों को । तब मैं निम्नलिखित मात्राओं को परिभाषित करता हूं: $S_n$ $A,B,C$

$N(n) :=$ से तक हैमिल्टनियन रास्तों की संख्या । $A$ $C$

से $\bar{N}(n) :=$ तक के रास्तों की संख्याजोको छोड़कर प्रत्येक नोड पर जाते हैं। $A$ $C$ $B$

मैं निम्नलिखित में इस तरह के रास्तों $N$ - या रास्तों को भी कहूंगा $\bar{N}$ ।

(ख) यह देखना आसान है कि $N(n)=\bar{N}(n)$ ।

कारण निम्नलिखित है: एक टाइप पथ पर विचार करें । पर प्रारंभ हो इस पथ फार्म की है । सेगमेंट को हम एक प्राप्त करते हैं । यह ऑपरेशन विशिष्ट रूप से सभी टाइप पथों को -प्राइप पथों पर मैप करता है। $N$ $A$ $(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$ $(X_1,B,X_2)$ $(X_1,X_2)$ $\bar{N}$ $N$ $\bar{N}$

(c) हम पुनरावर्ती । $N(n+1)=2N(n)^3$

से तक एक टाइप पथ पर विचार करें और क्रमशः द्वारा द्वारा बाहरी कोनों पर उपप्रकार को निरूपित करें । यह स्पष्ट है कि टाइप मार्ग ओवर से से शुरू होने के बाद प्रत्येक उपप्रकार का दौरा करेगा । अब नोड पर विचार , जिस पर subtriangles और $N$ $A$ $B$ $A,B,C$ $T_A,T_B,T_C$ $N$ $T_A$ $T_B$ $T_C$ $Z$ $T_A$ $T_C$ स्पर्श करें। दो संभावनाएं हैं, जब यह बिंदु प्रवेश करने के बाद या (ii) छोड़ने से पहले या तो (i) रास्ते से । इन मामलों में अंदर तीन उपपथ प्रकार के होते हैं : (i) या (ii) , क्रमशः। इसे ध्यान में रखकर हम गिनती कर सकते हैं $T_A$ $T_C$ $T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

और के साथ(ख)हम ऊपरी प्रत्यावर्तन पर पहुंचें। $N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(घ) हम हल प्रत्यावर्तन (ग) के साथ और प्राप्त । $N(1)=1$ $N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(ई) ग्राफ में एक हैमिल्टन चक्र पर विचार करें । जैसा कि प्रत्येक तीन उपप्रकार केवल दो नोड्स के माध्यम से दूसरों से जुड़े होते हैं, यह स्पष्ट है कि चक्र प्रत्येक उपप्रकार में एक बार एक कनेक्टिंग नोड के माध्यम से प्रवेश करेगा, फिर इसे "भरें", अंत में इसे दूसरे कनेक्टिंग नोड के माध्यम से छोड़ दें। इसलिए में हैमिल्टन चक्र में तीन टाइप उपप्रथ शामिल हैं, जिनमें सभी में की संरचना है । हम हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या के लिए निष्कर्ष निकाल सकते हैं $S_n$ $S_n$ $N$ $S_{n-1}$

। $C(n) = N(n-1)^3$

हालाँकि यह लिए अनुसरण करता है $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

जहां समस्या पृष्ठ (ऊपर लिंक) के अनुसार उत्तरार्द्ध प्राप्त किया जाना चाहिए।

किसी भी मदद या टिप्पणी के लिए फिर से धन्यवाद।

graph-theory combinatorics check-my-proof

— flonk
स्रोत

This is really funny, I derived everything with about the same ideas and made the exact same mistake=) Did you solve it by now?

— flawr

$(b)$ $(X_1,B,X_2)$ $N$ $(X_1,X_2)$ $\bar{N}$ $\bar{N}$ -पथ में समाहित होगा $(X_1,X_2)$ । तो यह कोई आपत्ति नहीं है। यह केवल कहता है $N(n) \leq \bar{N}(n)$ ।

या आप वास्तव में यह दिखा सकते हैं $\bar{N}(n) = 3N(n)/2$ , जिसके परिणामस्वरूप $N(n+1) = 3N^3$ .

— polkjh
स्रोत

Thanks, you made my day + another thanks for leaving the correct proof as an exercise to me!