लेम्मा साबित करने के लिए भाषा का उपयोग पम्पिंग

Question

मैं यह साबित करने के लिए पंपिंग लेम्मा का उपयोग करने की कोशिश कर रहा हूं कि नियमित नहीं है।$L = \{(01)^m 2^m \mid m \ge0\}$

यह वही है जो मैंने अभी तक किया है: मान लें कि नियमित है और को पंप करने की लंबाई है, तो । किसी भी पंप अपघटन पर विचार करें ऐसा और ।p w = ( 01 ) p 2 p w = x y z | y | > 0 | x य | ≤ $L$$p$$w = (01)^p 2^p$$w = xyz$$|y| >0$$|xy| \le p$

मुझे यकीन नहीं है कि आगे क्या करना है।

क्या मैं सही रास्ते पर हूं? या मैं रास्ता बंद कर रहा हूँ?

Comments

आप सही रास्ते पर हैं। यदि आप "पंप" करते हैं, तो आप 0 और 1 की संख्या बदलते हैं, लेकिन 2 की संख्या (क्यों?) नहीं। यह एक विरोधाभास का नेतृत्व करेगा।

— रैन जी।

ओह, ध्यान दें कि यह नहीं हो सकता है और | x य | < पी । मुझे लगता है कि यह एक टाइपो है और आपका मतलब है | y | > 0 । $|y|>p$$|xy|<p$$|y|>0$

— रैन जी।

ध्यान दें कि पम्पिंग लेम्मा यहां सबसे तेज़ तरीका नहीं है, क्योंकि गैर-नियमित भाषाओं के लिए कैनोनिकल उदाहरणों के बहुत करीब है। R E G के क्लोजर गुणों का उपयोग करने का प्रयास करें ! $L$$\mathrm{REG}$

— राफेल

या पंपिंग लेम्मा के प्रमाण की जांच करें यह महसूस करने के लिए कि आपके पास अंत में पंप स्ट्रिंग भी हो सकती है, और 2s को पंप करें, जो आसान है।

— वॉनब्रांड

@vonbrand या भाषा का उल्टा लेना और उस एक पर सीधे पंपिंग लेम्मा लागू करना।

— अल.जी.

Answer 1

संकेत: आपको इस बात पर विचार करने की आवश्यकता है कि सभी डीकंपोज़िशन जैसे दिखते हैं, इसलिए सभी संभावित चीजें x , y और z क्या दी जा सकती हैं कि x y z = ( 01 ) p 2 p । तब आप प्रत्येक को पंप करते हैं और देखते हैं कि क्या आपको एक विरोधाभास मिलता है, जो कि आपकी भाषा में नहीं होगा। प्रत्येक मामले को एक विरोधाभास की ओर ले जाने की जरूरत है, जो तब पंपिंग लेम्मा का विरोधाभास होगा। देखा! भाषा नियमित नहीं होगी।$w=xyz$$x$$y$$z$$xyz=(01)^p2^p$

बेशक, आपको विवरणों के माध्यम से काम करने और सभी संभावित विभाजन पर विचार करने की आवश्यकता है।

Answer 2

आप एक अपघटन है और लंबाई बाधा | x य | ≤ पी । यह क्या कहता है कि कैसे एक्स , वाई और जेड अपघटन में फिट हो सकते हैं? विशेष रूप से, पम्पिंग लेम्मा आपको y दोहराने की अनुमति देता है , इसलिए आपका उद्देश्य कुछ ऐसा तरीका ढूंढना है जिसमें कई बार y को दोहराते हुए (या y को हटाते हुए , कभी-कभी यह अधिक सरल होता है) अप्रासंगिक रूप से भाषा को परिभाषित करने वाले पैटर्न को नष्ट कर देगा।$xyz = (01)^p 2^p$$|xy| \le p$$x$$y$$z$$y$$y$$y$

पैटर्न में एक स्पष्ट सीमा होती है: पहले भाग में पुनरावृत्ति होती है , दूसरे भाग में केवल 2 होते हैं । दिलचस्प बात यह है कि जहां y नीचे गिरता है। क्या y हमेशा इन भागों में से एक में निहित होता है, या क्या यह दोनों को अलग कर सकता है?$01$$2$$y$$y$

चूंकि , x y पूरी तरह से ( 01 ) p भाग में निहित है , और z में सभी 2 शामिल हैं । इसलिए यदि आप एक बार और y दोहराते हैं , तो आपको एक लंबा भाग मिलता है, लेकिन 2 p भाग समान रहता है। मैं दूसरे शब्दों में, x y y z बिल्कुल p अक्षर 2 के साथ समाप्त होता है । प्रमाण को ठीक से समाप्त करने के लिए, यह दिखाएँ कि x y y z में बहुत सारे अक्षर 0 और $|xy| \le p$$xy$$(01)^p$$z$$2$$y$$2^p$$xyyz$$p$$2$$xyyz$$0$$1$ नियमित अभिव्यक्ति फिट करने के लिए।

Answer 3

तीन साल बाद हम चाहते हैं कि साबित करने के लिए जा रहे हैं के साथ Δ = { 0 , 1 , 2 } नहीं विरोधाभास का उपयोग कर बंद गुण (पम्पिंग लेम्मा का उपयोग करने से एक तेज़ तरीका द्वारा नियमित रूप से है )।$L = \{(01)^m 2^m \mid m \ge0\}$$\Delta=\{0,1,2\}$

पहले हम मानते हैं कि नियमित है। हम जानते हैं कि व्युत्क्रम समरूपता के तहत नियमित भाषाएं बंद हैं।$L$

समरूपता पर विचार के साथ:$h:\Sigma^* \rightarrow \Delta^*$

$\Sigma = \{a,b\}$

$h(a)= 01$

$h(b)= 2$

का व्युत्क्रम समरूपता है:$L$

$h^{-1}(L)= \{a^nb^n| n\geq 0 \} = L'$

यह एक विरोधाभास उत्पन्न क्योंकि एक अनियमित भाषा का एक विहित उदाहरण है इसलिए एल नियमित नहीं हो सकता।$L'$$L$

Answer 4

मैं इस सवाल का एक गैर-जवाब देने जा रहा हूं, क्योंकि यह पंपिंग लेम्मा नहीं है, लेकिन शायद पम्पिंग लेम्मा के विचार पर प्रकाश डालती है। यहाँ नियतात्मक परिमित स्थिति ऑटोमेटा, के बारे में एक बुनियादी तथ्य जो Myhill-Nerode प्रमेय का सार है: दो तार तो और ख से किसी के लिए, एक ही राज्य के लिए एफएसए ड्राइव तो ग , या तो दोनों एक सी और बी सी हैं स्वीकार किया है, या न ही है।$a$$b$$c$$ac$$bc$

अपनी समस्या पर वापस, मान लें कि आपके लिए भाषा का एक नियतात्मक ऑटोमेटन अवस्थाएँ हैं। तब के कम से कम दो ( 01 ) 1 , ( 01 ) 2 , ... , ( 01 ) n + 1 , कहते हैं ( 01 ) पी और ( $n$$(01)^1$$(01)^2$$\ldots$$(01)^{n+1}$$(01)^p$ साथ पी ≠ क्ष , एक ही राज्य के लिए आटोमैटिक मशीन ड्राइव (यह है कबूतर-छेद सिद्धांत)। तथ्य के अनुसार, तब दोनों ( 01 ) पी 2 पी और$(01)^q$$p\neq q$$(01)^p2^p$ , एल या न में है, जो एक विरोधाभासी है।$(01)^q2^p$$L$