2-डी शिखर जटिलता खोजने (MIT OCW 6.006)

Question

43:30 बजे MIT OCW 6.006 के लिए एक सस्वर वीडियो में,

कॉलम और पंक्तियों के साथ एक मैट्रिक्स को देखते हुए , 2-D चोटी खोजने वाला एल्गोरिथ्म, जहां एक चोटी किसी भी मूल्य के आस-पास के पड़ोसियों से अधिक या उसके बराबर है, के रूप में वर्णित किया गया था:$m \times n$$A$$m$$n$

नोट: यदि माध्यम से कॉलम का वर्णन करने में भ्रम है , तो मैं माफी मांगता हूं, लेकिन यह है कि इस तरह से सुनाई देने वाला वीडियो इसका वर्णन करता है और मैंने वीडियो के अनुरूप होने की कोशिश की। इसने मुझे बहुत भ्रमित किया।$n$

1. मध्य स्तम्भ उठाओ // जटिलता है$n/2$$\Theta(1)$

2. स्तंभ // का अधिकतम मान ज्ञात करें। जटिलता क्योंकि स्तंभ में पंक्तियाँ हैं$n/2$$\Theta(m)$$m$

3. क्षितिज की जाँच करें। अधिकतम मान के पड़ोसी, यदि यह अधिक है तो एक चोटी पाई गई है, अन्यथा // के साथ पुनरावृत्ति करें। क्या जटिलता$T(n/2, m)$$T(n/2,m)$

फिर पुनरावृत्ति का मूल्यांकन करने के लिए, सस्वर प्रशिक्षक कहते हैं

$T(1,m) = \Theta(m)$ क्योंकि यह अधिकतम मान पाता है

$$T(n,m) = \Theta(1) + \Theta(m) + T(n/2, m) \tag{E1}$$

मैं अगले भाग को समझते हैं, वीडियो, जहां उन्होंने इलाज करने के लिए कहते हैं में 52:09 पर $m$ , एक निरंतर की तरह के बाद से पंक्तियों की संख्या कभी नहीं बदलता। लेकिन मुझे समझ में नहीं आता है कि यह कैसे निम्नलिखित उत्पाद की ओर जाता है:

$$T(n,m) = \Theta(m) \cdot \Theta(\log n) \tag{E2}$$

मुझे लगता है कि, चूंकि को एक स्थिरांक की तरह व्यवहार किया जाता है, इसलिए इसे इस तरह से माना जाता है और ऊपर में समाप्त कर दिया जाता है। लेकिन मुझे कूदने में मुश्किल समय हो रहा है । इस वजह से हम अब के मामले पर विचार कर रहे है एक निरंतर साथ ?$m$$\Theta(1)$$(E1)$$(E2)$$T(n/2)$$m$

मुझे लगता है कि समग्र विचार "देख" सकता है कि मीटर की पंक्तियों की संख्या के लिए एक ऑपरेशन किया जाता है। क्या मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूँ कैसे से कूद वर्णन करने के लिए है के किसी और को, यानी असली समझ हासिल।$\Theta(\log n)$$(E1)$$(E2)$

Answer 1

मैं यह समझ है, यह लेता है (एम) का समय दिया स्तंभ में सभी तत्वों का मूल्यांकन करने और पहचान जो उन तत्वों के वैश्विक अधिकतम है। जहां आता है कि सबसे खराब स्थिति में, एल्गोरिथ्म को चोटी खोजने से पहले मैट्रिक्स में कॉलम का मूल्यांकन करना चाहिए । कुल काम तब$\Theta$$\Theta (\lg(n))$$\lg(n)$$\Theta(m\lg(n))$

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके मैट्रिक्स में 32 कॉलम और 8 पंक्तियाँ हैं।

1. आप मध्य कॉलम लेते हैं, कॉलम 16 कहते हैं। आप इसका मूल्यांकन करते हैं और पाते हैं कि स्तंभ का वैश्विक शिखर एक तत्व द्वारा दाईं ओर फैला हुआ है। आप कॉलम 1-16 छोड़ते हैं, और कॉलम 17-32 पर ध्यान केंद्रित करते हैं
2. शेष मैट्रिक्स के मध्य स्तंभ को खोजें, जो स्तंभ 24 है, और आप एक वैश्विक शिखर के लिए मूल्यांकन करते हैं (यह आपका दूसरा स्तंभ मूल्यांकन है)। आपको लगता है कि आपको दाईं ओर जाने की आवश्यकता है। कॉलम 17-24 छोड़ें, 25-32 पर ध्यान केंद्रित करें।
3. मध्य का पता लगाएं (स्तंभ 28) - आप मूल्यांकन करते हैं (तीसरा स्तंभ मूल्यांकन), और आपको लगता है कि आपको दाईं ओर जाने की आवश्यकता है। कॉलम 25 - 28 छोड़ें, और 29 - 32 पर ध्यान केंद्रित करें।
4. स्तंभ 30 (चौथा मूल्यांकन) का मूल्यांकन करें, पाते हैं कि आपको दाईं ओर जाने की आवश्यकता है, स्तंभ 29-30 छोड़ें।
5. शेष कॉलम (पांचवें कॉलम मूल्यांकन) में से एक का मूल्यांकन करें, और आप कर रहे हैं।

कुल मिलाकर, आपने पाँच स्तंभ मूल्यांकन पूरे किए। 5 = = जहां n मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या है और lg लॉग बेस 2 है।$\lg(32)$$\lg(n)$

Answer 2

आपके द्वारा उल्लिखित विश्लेषण गलत प्रतीत होता है। सही जटिलता जहां मैट्रिक्स का बड़ा आयाम है (या तो पंक्तियों या स्तंभों)। अधिक / बेहतर विवरण के लिए यह अन्य सही विश्लेषण देखें । गलती का हिस्सा आवर्तन संबंध को परिभाषित नहीं किया गया है के मामले में केवल (जो पत्र में सही ढंग से नियंत्रित किया जाता है)। कागज एक अनंत श्रृंखला दिखाता / उपयोग करता है:$O(m)$$m$$T(n,m)$$T(n,m)$

$\begin{eqnarray*} T(n) & = & T \left({n \over 2}\right) + cn \\ T(n) & = & T(1) + cn \left( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots \right) \\ &= & O(n) \end{eqnarray*}$

Comments

यह जवाब है, वास्तव में, सवाल बंद! ओपी भजन वीडियो MIT OCW 6.006 में एल्गोरिथ्म के बारे में बात करता है, जबकि यह उत्तर एक अलग एल्गोरिथ्म के बारे में बात करता है । विशेष रूप से, ओपी द्वारा उल्लिखित विश्लेषण उस वीडियो में एल्गोरिथ्म के संबंध में सही है।

— जॉन एल।