क्या एक साधारण ग्राफ के दो फैले पेड़ों में हमेशा कुछ सामान्य किनारे होते हैं?

Question

मैंने कुछ मामलों की कोशिश की और पाया कि एक साधारण ग्राफ के दो फैले हुए पेड़ में कुछ सामान्य किनारे हैं। मेरा मतलब है कि मुझे अब तक कोई काउंटर उदाहरण नहीं मिला। लेकिन मैं यह साबित नहीं कर सका या इसे अस्वीकार नहीं कर सका। इस अनुमान को कैसे सिद्ध या अस्वीकृत किया जाए?

Answer 1

नहीं, पूर्ण ग्राफ पर विचार करें :$K_4$

इसमें निम्नलिखित किनारे हैं-पेड़ों के बीच फैला हुआ:

Comments

आप प्रत्येक पेड़ को प्लानर बना सकते हैं, जिसमें से एक को आकार का और दूसरे को आकार का बनाया जा सकता है। आप ऊपरी दाएं किनारे से निचले बाएं शीर्ष पर किनारे को वर्ग के बाहर जाने वाले वक्र के रूप में चित्रित करके पूरी चीज को बना सकते हैं। $N$$Z$

— संचय

@kelalaka हमें पूर्ण ग्राफ़ की आवश्यकता नहीं है , नहीं (कल्पना करें कि पर इसी तरह का काम कर रहा - जब तक मैंने अपना अनुमान नहीं छोड़ा है, आपके पास कुछ अप्रयुक्त किनारे हैं जिन्हें हटाया जा सकता है, जिससे यह अब पूर्ण नहीं है (क्योंकि प्रत्येक शीर्ष को इससे जुड़े 2-4 ट्रैवर्स किए गए किनारों की आवश्यकता होती है, और में प्रत्येक शीर्ष पर 5 किनारे उपलब्ध होते हैं, इसलिए प्रत्येक शीर्ष को कम से कम एक अप्रयुक्त किनारे से जोड़ा जाता है))। शायद सबसे अच्छा उदाहरण है - यह अच्छी तरह से जाना जाता है, कल्पना करना आसान है (तुलनात्मक रूप से कुछ किनारों पर), और इसमें बहुत ही सरल पेड़ हैं। के ५ के $K_5$$K_5$$K_4$

— निधि मोनिका का मुकदमा

Answer 2

अधिक रुचि रखने वाले पाठकों के लिए, पेड़ों के फैले हुए किनारे-विस्थापन में ग्राफ के अपघटन पर कुछ शोध हैं ।

उदाहरण के लिए, शास्त्रीय कागजात में एक ग्राफ़ सड़ते की समस्या पर जुड़े कारक$n$ WT Tutte और से किनारे-संबंध तोड़ना परिमित रेखांकन के पेड़ फैले सी St.JA नैश-विलियम्स द्वारा रेखांकन का एक लक्षण वर्णन करती है प्रदान करता है जोड़ो में किनारे-संबंध तोड़ना फैले हुए पेड़। के$k$

उदाहरण के लिए, डालीबोर फ्रोंसेक द्वारा पेड़ों को फैलाने में पूर्ण रेखांकन के कागज द्वि-चक्रीय विघटन से पता चलता है कि पूर्ण ग्राफ़ को आइसोमोर्फिक फैले पेड़ों में विघटित कैसे करें ।$K_{4k+2}$${2k+1}$

उदाहरण के लिए, पेट्र कोवा और माइकल कुबेसा द्वारा सभी संभावित अधिकतम डिग्री वाले स्पैनिंग ट्री में कम्पलीट ग्राफ्स के पेपर फैक्ट्रीजेशन से पता चलता है कि किसी दिए गए अधिकतम डिग्री के साथ पेड़ों को फैले करने के लिए को कैसे फैक्ट करें ।$K_{2n}$

आप और खोज सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक गूगल ने पेड़ों में फैले ग्राफ के अपघटन के लिए खोज की ।

Answer 3

संपादित करें: यह गलत है जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है। जैसा कि अन्य उत्तर कहता है, लिए एक फैले हुए पेड़ को किनारों को साझा किए बिना किया जा सकता है।$K_4$

नहीं, यह सच नहीं है कि किसी भी ग्राफ के दो फैले पेड़ों में आम किनारे होते हैं।

पहिया ग्राफ पर विचार करें:

आप एक फैले हुए पेड़ को किनारों के साथ "अंदर" लूप बना सकते हैं और बाहरी लूप से एक और एक।

Comments

लेकिन बाहरी पाश केंद्र नोड तक नहीं पहुंचता है

— अमी

आप ठीक कह रहे हैं, मैं इस जवाब को हटा दूंगा क्योंकि अन्य एक है।

— गोकुल

आप इसे लूप माइनस कुछ "कॉर्ड" और कुछ "त्रिज्या" और इसके पूरक के रूप में ले सकते हैं।

— boboquack

हाँ। वास्तव में मैंने उस तरह से ही देखा था। @ बबोक्वाक

— श्री सिग्मा।

Answer 4

$K_n$$n\geq4$

$2$

$K_n$$n\geq4$$n\geq4$$2$

$2$

1. $2$$2$
2. वहाँ पहिया या पहिया के अलावा कोई भी ग्राफ है जैसे कि उसके सबग्राफ में असंतुष्ट किनारों वाले पेड़ होते हैं?

Comments

इन सवालों और उससे परे के प्रश्नपत्रों में उत्तर दिया गया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप देख सकते हैं।

— Apass.Jack

धन्यवाद @ Apass.Jack मैंने आपका उत्तर देखा है। इस पर गौर करेंगे।

— श्री सिग्मा।

Answer 5

$K_{2k}$

$$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$$

$$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$$

$0\leq i < k$

$n$$n+1$

Answer 6

यदि ग्राफ़ में एक पुल है (यानी एक किनारे जिसका निष्कासन ग्राफ को काटता है), तो यह किनारे हर फैले हुए पेड़ से संबंधित होना चाहिए। सहज रूप से, एक पुल एकमात्र छोर है जो अपने दो समापन बिंदुओं को जोड़ता है और इसलिए आवश्यक रूप से हर जुड़े सबग्राफ के अंतर्गत आता है।

दूसरी ओर, यदि ग्राफ का एक किनारा एक चक्र के अंतर्गत आता है, तो इस किनारे पर नहीं होने वाले एक फैले हुए वृक्ष का अस्तित्व है।

इसलिए, यदि ग्राफ़ का हर किनारा एक चक्र का है, तो कोई भी किनारा सभी फैले हुए पेड़ों के लिए आम नहीं है (यानी, फैले हुए पेड़ों के किनारे सेट का चौराहा खाली सेट है)।