यदि

Question

कहो, $L \subseteq \{0\}^*$ । फिर हम कि कैसे साबित कर सकते हैं $L^*$ नियमित रूप से है?

यदि $L$ नियमित है, तो निश्चित रूप से $L^*$ भी नियमित रूप से है। यदि $L$ परिमित है, तो यह नियमित रूप से और फिर से है $L^*$ नियमित रूप से है। इसके अलावा मैंने देखा है कि, के लिए है $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ नहीं नियमित रूप से, है $L \subseteq \{0\}^*$ और $L^*$ नियमित रूप से है।

लेकिन यह कैसे किसी भी उप समूह के लिए यह दिखाने के लिए $L$ के $\{0\}^*$ ?

Answer 1

मान लें कि $L$ में दो शब्द $w_1$ और $w_2$ जैसे कि इन शब्दों की लंबाई, $|w_1|$और $|w_2|$, आम में कोई कारक नहीं है। फिर हम उस सबसे लंबा शब्द है कि इन शब्दों को श्रृंखलाबद्ध द्वारा गठित नहीं किया जा सकता लंबाई है $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( Frobenius संख्या)। यह कहना है, अगर भाषा में ऐसे शब्द हैं जिनकी लंबाई एक सामान्य कारक नहीं है, तो एक निश्चित न्यूनतम लंबाई के सभी शब्द भाषा में हैं $L^*$। यह देखना आसान है कि यह नियमित है, आवश्यकता के बाद से, Myhill-Nerode अविभाज्य संबंध के तहत समतुल्य वर्गों की एक सीमित संख्या है।

$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

यह बहुत ही अनौपचारिक है, लेकिन आपको इसे औपचारिक रूप देने की जरूरत है।

Answer 2

$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

चलो का एक सबसेट हो और में एक शब्द । में शब्दों का एक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता iff के तत्वों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ , के शब्दों की लंबाई का समूह है । इस प्रकार समस्या किसी विशेष सेट में पूर्णांक के योग के रूप में पूर्णांक को व्यक्त करने के लिए कम हो जाती है (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ): कर सकते हैंके रूप में व्यक्त किया जाना with और ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

यह अंकगणित में एक अच्छी तरह से ज्ञात समस्या है, और इसका उत्तर यह है कि यदि गुणांक ऋणात्मक हो सकता है ( ),अगर यह : के तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, तो यह स्पष्ट है । गैर नकारात्मक गुणांक के लिए एक आवश्यकता के साथ, यह अभी भी पर्याप्त रूप से बड़े के लिए रखती है।$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

अनंत अनुक्रम पर विचार करें द्वारा परिभाषित । यह पूर्णांकों का घटता क्रम है ( , इसलिए यह एक निश्चित इंडेक्स बाद स्थिर होता है ; और चीनी शेष प्रमेय के द्वारा, का प्रत्येक तत्व हो सकता है। के रूप में व्यक्त साथ और । यदि और तब आप सभी गैर-नकारात्मक गुणांक चुन सकते हैं।$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

पर्याप्त अंकगणित। चलो । में हर शब्द में शब्दों का एक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता जिसकी लंबाई है ज्यादा से ज्यादा , यानी । चूँकि हमारे पास भी होती है , इसलिए हमारे पास , जो कि बाद से नियमित है इसलिए नियमित है।$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

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वैकल्पिक रूप से, एकल-अक्षर वर्णमाला में नियमित भाषाओं के लक्षण वर्णन का उपयोग करें ।