क्या 3 डी रोटेशन मैट्रिक्स (4x4) को इसके घटक भागों (रोटेशन, स्केल, आदि) में बदलना संभव है?

अधिक ठोस होने के लिए, मैं एक iOS ऐप पर काम कर रहा हूं, और एक CATransform3Dसंरचना (मूल रूप से एक 4x4 ट्रांसफ़ॉर्म सरणी) है।

क्या यह मैट्रिक्स अलग-अलग सभी "ऑपरेशन" को कम करना संभव है? कितनी चीजें घूमती हैं, पैमाने आदि, इसका मतलब है?

transformations

— elsurudo
स्रोत

आप मूल रूपांतरण में मैट्रिक्स $\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$ को विघटित कर सकते हैं : अनुवाद, स्केलिंग और रोटेशन। इस मैट्रिक्स को देखते हुए:

म = [\begin{matrix} ए_{00} & ए_{01} & ए_{02} & ए_{03} \\ ए_{10} & ए_{1 1} & ए_{12} & ए_{13} \\ ए_{20} & ए_{21} & ए_{22} & ए_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

आप पिछले स्तंभ का उपयोग निरीक्षण द्वारा अनुवाद विघटित कर सकते हैं । $\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

स्केलिंग के लिए, हम जानते हैं कि मैट्रिक्स के पहले तीन कॉलम आधारों (अक्षों) से मेल खाते हैं। हम इन वैक्टरों की लंबाई / मान के आधार पर पैमाना प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात आधारों को कितना छोटा किया गया था। तो पैमाने जहां: $\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

\begin{matrix} {रों}_{0} = ‖ (ए_{00}, ए_{10}, ए_{20}) ‖ \\ {रों}_{1} = ‖ (ए_{01}, ए_{1 1}, ए_{21}) ‖ \\ {रों}_{2} = ‖ (ए_{02}, ए_{12}, ए_{22}) ‖ \end{matrix}

$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$

अब आप पैमाने, आप इसे का उपयोग करते हुए छुटकारा पा सकते हैं है उप मैट्रिक्स कि मेल खाती है करने के लिए पैमाने का प्रतिलोम के साथ मैट्रिक्स गुणा करके के लिए प्राप्त $3\times 3$ $\mathbf{RS}$ $\mathbf{S}^{-1}$ $\mathbf{R}$

\begin{aligned} {(आर एस) एस}^{- 1} & = [\begin{matrix} ए_{00} & ए_{01} & ए_{02} \\ ए_{10} & ए_{1 1} & ए_{12} \\ ए_{20} & ए_{21} & ए_{22} \end{matrix}] {[\begin{matrix} {रों}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & {रों}_{1} & 0 \\ 0 & 0 & {रों}_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = [\begin{matrix} ए_{00} & ए_{01} & ए_{02} \\ ए_{10} & ए_{1 1} & ए_{12} \\ ए_{20} & ए_{21} & ए_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 / {रों}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / {रों}_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / {रों}_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$

इस प्रकार ( ): $\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

आर = [\begin{matrix} ए_{00} / {रों}_{0} & ए_{01} / {रों}_{1} & ए_{02} / {रों}_{2} \\ ए_{10} / {रों}_{0} & ए_{1 1} / {रों}_{1} & ए_{12} / {रों}_{2} \\ ए_{20} / {रों}_{0} & ए_{21} / {रों}_{1} & ए_{22} / {रों}_{2} \end{matrix}]

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$

यह अंतिम रोटेशन मैट्रिक्स है। आप आगे कई तरीकों का उपयोग करके इसे विघटित कर सकते हैं। इसे लंबा छोड़ दिया जाता है, लेकिन आप रोटेशन मैट्रिक्स को डिकम्पोज करने के लिए खोज सकते हैं ।

यह विधि केवल अनुवाद, स्केलिंग और रोटेशन (मूल मैट्रिक्स शायद अन्य प्रकार के परिवर्तनों का परिणाम) के रूप में एक समान मूल्य देती है। यदि आप आगे विघटित कोणों का उपयोग करते हैं, तो यह रोटेशन कोणों के साथ फ़्लोटिंग पॉइंट परिशुद्धता के साथ समस्या हो सकती है, कम्प्यूटिंग में राउंडिंग त्रुटियां जमा हो सकती हैं। आपको इसका उपयोग तब तक नहीं करना चाहिए जब तक आप स्वयं मैट्रिक्स का निर्माण नहीं करते हैं।

यदि आप मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं और चाहते थे कि अपघटन हो जाए, ताकि अनुवाद, स्केल और रोटेशन को अलग-अलग और स्वतंत्र रूप से संपादित करने और प्रदर्शित करने में सक्षम हो , तो संभवतया सबसे साफ-सुथरा क्यों है क्योंकि , के घटकों को संग्रहीत करना है और एक ट्रांसफॉर्मर वर्ग में वैक्टर के रूप में व्यक्तिगत रूप से (शायद रोटेशन के लिए चतुर्धातुक)। केवल तभी जब आपको ट्रांसफ़ॉर्म मैट्रिक्स की आवश्यकता हो, इन घटकों से एक मैट्रिक्स का निर्माण करें (आप मैट्रिक्स को कैश कर सकते हैं जब तक कि कुछ घटक नहीं बदला जाता है)। $\mathbf{t}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{TRS}$

— user5488
स्रोत

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि फ्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता के साथ समस्याएं क्या हैं? मुझे इस पद्धति में ऐसा कुछ भी दिखाई नहीं दे रहा है जो सटीक समस्या पैदा करे, जब तक कि यह पैमाना वास्तव में चरम न हो। इसके अलावा, यह ध्यान देने योग्य है कि यह विधि विफल हो सकती है यदि मैट्रिक्स को मैट्रिस के अनुक्रम से बनाया गया था जिसमें गैर-समान पैमाने और घुमाव दोनों शामिल हैं। मैट्रिक्स बाहर नहीं बारी उस मामले में एक रोटेशन हो जाएगा, लेकिन कुछ कतरनी शामिल होंगे।

R

$\mathbf{R}$

— नाथन रीड

सभी फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों में आंतरिक (बाध्य) त्रुटि होती है। जब भी आप ऑपरेशन करते हैं, और विशेष रूप से जोड़ या घटाव करते हैं, तो आप सीमा को बढ़ाते हुए त्रुटि को कम करते हैं। अपघटन एल्गोरिथ्म में छिपे हुए कई अतिरिक्त संचालन हैं (मैट्रिक्स गुणा और स्केल परिमाण गणना दोनों) और एक वर्गमूल (स्केल में)। आगे के अपघटन आगे त्रुटि का परिचय देगा।

— टिम्बो

@ टिम्बो यहाँ कोई पूर्ण मैट्रिक्स गुणन नहीं है, हालाँकि, मैट्रिक्स के स्तंभों को व्युत्क्रम तराजू से गुणा करें। और एक वेक्टर परिमाण में सभी सकारात्मक मात्राओं को शामिल करना शामिल है, इसलिए वहां कोई भयावह रद्द नहीं है; यह बहुत सापेक्ष त्रुटि उत्पन्न नहीं करता है, AFAICT। वैसे भी, लेखक ने स्पष्ट किया कि वे रोटेशन मैट्रिक्स को आगे यूलर एंगल या इस तरह के डिकम्पोजिंग के बारे में बात कर रहे हैं, जो अधिक समझ में आता है।

— नाथन रीड

साभार - शानदार जवाब अनुवर्ती: मूल मैट्रिक्स को वापस लाने के लिए, मैं मान रहा हूं कि हमें पहचान मैट्रिक्स से शुरू होकर संचालन के एक निश्चित क्रम का पालन करने की आवश्यकता है। क्या यह आदेश टीआरएस होगा?

— elsurudo