Affine Transform क्या हैं?

Affine Tranformations क्या हैं? क्या वे केवल अंकों या अन्य आकृतियों पर भी लागू होते हैं? इसका क्या मतलब है कि वे "रचना" हो सकते हैं?

transformations affine-transformations

— luser droog
स्रोत

एक Affine Transform एक रैखिक ट्रांसफ़ॉर्म + एक ट्रांसलेशन वेक्टर है।

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

यह अलग-अलग बिंदुओं या लाइनों या यहां तक कि बेजियर कर्व्स पर लागू किया जा सकता है। लाइनों के लिए, यह संपत्ति को संरक्षित करता है कि समानांतर रेखाएं समानांतर रहती हैं। बेजियर घटता के लिए, यह नियंत्रण बिंदुओं के उत्तल-पतवार संपत्ति को संरक्षित करता है।

बढ़ी-आउट, यह उपज के लिए 2 समीकरण पैदा करता है एक "तब्दील" जोड़ी समन्वय मूल जोड़ी से और स्थिरांक की एक सूची । $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

आसानी से, रैखिक परिवर्तन और अनुवाद वेक्टर को एक 3 डी मैट्रिक्स में एक साथ रखा जा सकता है जो 2 डी सजातीय निर्देशांक पर काम कर सकता है।

[\begin{matrix} {एक्स}^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} एक्स & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} ए & ख & 0 \\ सी & घ & 0 \\ ई & च & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

जो ऊपर 2 समान समीकरण उत्पन्न करता है।

बहुत आसानी से , मेट्रिसेस को एक तिहाई मैट्रिक्स (स्थिरांक) का उत्पादन करने के लिए एक साथ गुणा किया जा सकता है जो कि मूल 2 के रूप में एक ही परिवर्तन करता है। सीधे शब्दों में कहें, मैट्रिक्स गुणन सहयोगी हैं।

\begin{matrix} [\begin{matrix} {एक्स}^{"} & y^{"} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} एक्स & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} ए & ख & 0 \\ सी & घ & 0 \\ ई & च & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} जी & ज & 0 \\ मैं & j & 0 \\ कश्मीर & मीटर & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} ए \cdot एक्स + सी \cdot y + ई & ख \cdot एक्स + घ \cdot y + च & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} जी & ज & 0 \\ मैं & j & 0 \\ कश्मीर & मीटर & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} जी (ए \cdot एक्स + सी \cdot y + ई) + मैं (ख \cdot एक्स + घ \cdot y + च) + कश्मीर \\ ज (ए \cdot एक्स + सी \cdot y + ई) + j (ख \cdot एक्स + घ \cdot y + च) + मीटर \\ 1 \end{matrix}]}^{टी} \\ = & [\begin{matrix} एक्स & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} ए & ख & 0 \\ सी & घ & 0 \\ ई & च & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} जी & ज & 0 \\ मैं & j & 0 \\ कश्मीर & मीटर & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} एक्स & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} ए जी + ख मैं & ए ज + ख j & 0 \\ सी जी + घ मैं & सी ज + घ j & 0 \\ ई जी + च मैं + कश्मीर & ई ज + च j + मीटर & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

वैकल्पिक रूप से आप कुछ बुनियादी परिवर्तन प्रकारों पर विचार कर सकते हैं और इनका संयोजन करके किसी भी अधिक जटिल परिवर्तन की रचना कर सकते हैं (इन्हें एक साथ जोड़कर)।

पहचान परिवर्तन

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

स्केलिंग

[\begin{matrix} {एस}_{एक्स} & 0 & 0 \\ 0 & {एस}_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

* नोट: एक प्रतिबिंब स्केलिंग मापदंडों या साथ किया जा सकता है । $(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

अनुवाद

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ {टी}_{एक्स} & {टी}_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

Y द्वारा तिरछा x

[\begin{matrix} 1 & {क्यू}_{एक्स} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

तिरछा करके y

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ {क्यू}_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

रोटेशन

[\begin{matrix} क्योंकि θ & - रों मैं n θ & 0 \\ पाप θ & क्योंकि θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[नोट मैंने यहां मैट्रिक्स का रूप दिखाया है जो बाईं ओर एक पंक्ति वेक्टर को स्वीकार करता है । इन मैट्रिसेस का ट्रांसजेशन दाईं ओर एक कॉलम वेक्टर के साथ काम करेगा।]

एक मैट्रिक्स पूरी तरह से स्केलिंग, रोटेशन और अनुवाद से बना है, इन तीन घटकों में वापस विघटित किया जा सकता है ।

— luser droog
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब। आप जोड़ना चाह सकते हैं कि एफाइन ट्रांसफ़ॉर्म के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि वे समानांतर लाइनों को समानांतर रखें। इसलिए, स्केलिंग, रोटेशन, अनुवाद, कतरनी और संयोजन, चक्कर के रूप में गिना जाता है। परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण एक गैर-प्रतिफल परिवर्तन का एक उदाहरण है।

— एपी_

आप कुछ चित्र जोड़ सकते हैं। यदि आप नहीं करेंगे तो मैं: P भी मैट्रिक्स में आदेश का उल्लेख करने के लिए अच्छा हो सकता है और पंक्ति / स्तंभ अभिविन्यास मनमाना है। और यह कि 3 डी में घूमना कम्यूटेटिव नहीं है।

— पूजा

@ जूजा मैं चित्र बनाया! पोस्टस्क्रिप्ट स्रोत

— 2:45 बजे लूसर ड्रग

यह भी ध्यान देने योग्य बात हो सकती है कि कठोर शरीर के रूपांतरण, ट्रांसफ़ॉर्म ट्रांसफ़ॉर्म के उपसमुच्चय हैं, और एफ़िन के ट्रांसफ़ॉर्मेशन, ट्रांसफ़ॉर्म ट्रांसफ़ॉर्म का सबसेट हैं।

— user1118321

मैं इसे हर एक बार फिर से पढ़ रहा हूं और मैं काफी कुछ नहीं बता सकता, लेकिन हो सकता है कि मेरे पास गलत तरीके से बताए गए तिरछे रूपांतर हों। स्क्यूज़ भ्रमित कर रहे हैं। यदि कोई इसे देखता है और संपादन में जाना चाहता है, तो कृपया उस हिस्से को स्पष्ट करने में मदद करें!

— लूसर