हेमिसोर्फिकल हार्मोनिक्स का विमोचन

गोलाकार हार्मोनिक्स (एसएच) केवल एक मुट्ठी भर गुणांक वाले कम आवृत्ति वाले गोलाकार कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। उनके पास कुछ अच्छे गणितीय गुण हैं, उदाहरण के लिए कर्नेल फ़ंक्शन h (x) (जिसमें वृत्ताकार समरूपता है) के साथ एक कनवल्लुशन की गणना की जा सकती है

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

रैंक 3 एसएच के लिए कोसाइन लोब के साथ एक सजा के मामले में यह कारकों के साथ बैंड की एक सरल स्केलिंग में परिणाम देता है

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

कई मामलों में, उदाहरण के लिए एक अपारदर्शी सतह पर दिए गए बिंदु के लिए घटना प्रकाश, पूर्ण गोलाकार जानकारी की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि क्षेत्र के आधे भी वैसे भी शून्य / अपरिभाषित / अप्रयुक्त हैं। इस प्रकार, हेमिस्फोरिकल हार्मोनिक्स (HSH) का जन्म हुआ।

एचएसएच के लिए एक मनमाना कर्नेल (परिपत्र समरूपता के साथ) कैसे काम करता है? क्या एसएच से दी गई सजा को बढ़ाया जा सकता है या क्या कोई कागज है जो इस पर जानकारी देता है?

hemisphere

— डेविड कुरी
स्रोत

आप "परिपत्र समरूपता के साथ मनमाना कर्नेल" लिखते हैं: इसका मतलब यह नहीं है कि आपको वास्तव में केवल (हेमिसफ़ेरिक) जोनल हार्मोनिक्स भाग के साथ दृढ़ विश्वास की आवश्यकता है? यदि आपका समरूपता अक्ष अलग है, तो आप अभी भी जोनल कनवल्शन से पहले और बाद में घुमाव जोड़कर इसका उपयोग कर सकते हैं। पेपर में घूर्णन कैसे किया जाता है इसका वर्णन किया गया है। आंचलिक भाग (एम = 0) के साथ एकीकरण तुलनात्मक रूप से आसान होना चाहिए। हालांकि, गोलाकार हार्मोनिक्स के साथ, यह मनमाने कार्यों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं होगा। कोसिन लोब जैसी साधारण चीजें ठीक काम करें (हालांकि अभी तक कोशिश नहीं की गई है)।

— 12

@Wumpf तुम सही हो, यह बहुत ज्यादा है जो इसे उबालता है। एसएच के लिए, मैं सिर्फ "कर्नेल फ़ंक्शन] एच" से संबंधित मी = 0 शब्द द्वारा एफ के प्रत्येक बैंड को स्केल करता हूं (स्लोन के बेवकूफ एसएच ट्रिक्स को उद्धृत करते हुए)। प्रश्न है, क्या मैं एचएसएच के लिए भी ऐसा कर सकता हूं?

— डेविड कुरी

यह उत्तर कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं पर एक संक्षिप्त अवलोकन देने की कोशिश करता है। चूंकि एचएसएच की परिभाषा बल्कि जटिल है और मैं कुछ पूर्व-मूल्यांकन कार्यों पर एक सिंहावलोकन नहीं पा सका, मैंने उदाहरण केवल इसलिए नहीं दिए क्योंकि मुझे अभी बहुत समय लगेगा।

समस्या का वर्णन और जानवर बल

आधार फ़ंक्शन के किसी भी सेट के साथ किसी भी सजा को निर्धारित करने के लिए और इस प्रकार गुणांक की गणना करने के लिए हमें आम तौर पर डोमेन पर इंटीग्रल (= एसएच के लिए गोलार्द्ध, एचएसएच के लिए गोलार्द्ध) की गणना करने की आवश्यकता होती है। सब कुछ हम क्या करने की जरूरत है, अर्धगोल समारोह का प्रतिनिधित्व करने के च , जिस पर परिभाषित किया गया है कोण थीटा ( "ऊपर / नीचे") और फ़ाई ( "/ छोड़ दिया सही"), के माध्यम से एक गुणांक सी HSH आधार कार्यों के लिए एच निम्नलिखित है:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) / cdot पाप (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

पाप (थीटा) वहाँ क्योंकि हम एक (hemi-) क्षेत्र की सतह के ऊपर एकीकृत है। वैचारिक रूप से, क्षेत्र के एक टुकड़े का आकार जो कि फी को बदलने से आता है , वर्तमान थीटा पर बड़ा या छोटा होता है। इस पर अधिक यहाँ

यदि हम सटीकता या कंप्यूटिंग समय के बारे में बहुत अधिक परवाह नहीं करते हैं, तो हम इसे केवल नमूने द्वारा हल कर सकते हैं: गोलार्ध पर समान रूप से वितरित (!) दिशा-निर्देश उत्पन्न करें, च और एच के उत्पाद की गणना करें और परिणामों को औसत करें (यदि आप वास्तव में समान रूप से वितरित किए गए हैं आपको पाप (थीटा) की आवश्यकता नहीं है ।

एक विश्लेषणात्मक समाधान के साथ आरंभ करें

बेशक हम अपने कार्य के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान करना पसंद करेंगे, लेकिन यह वह जगह है जहां चीजें बहुत मुश्किल हो सकती हैं। पहले कदम के रूप में हमें एक फ़ंक्शन को बदलने की आवश्यकता हो सकती है जो कार्टेशियन दिशाओं पर गोलाकार निर्देशांक में दिया गया है। यह भाग अभी भी आसान है, बस अपने सभी x, y और z को निम्नानुसार बदलें:

$(x, y, z) \ _ सहीरा (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

ध्यान दें कि यह हमें एक प्रणाली देता है जहां z- अक्ष गोलार्ध का "अप" है (थीटा = 0) जिसे एचएसएच द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। उसके बाद पहले से ही कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में सब कुछ सम्मिलित करना और समीकरण को हल करना संभव हो सकता है। सभी एम एंड एल के लिए हल करने की कोशिश न करें , बल्कि एक समय में एक गुणांक की कोशिश करें, क्योंकि यह संभावना नहीं है कि एक कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति है जो एक बार में उन सभी का वर्णन करती है। एचएसएच की परिभाषा अपेक्षाकृत जटिल है, जो इन कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए बहुत कठिन है। में इस पत्र शून्य और 1 आदेश HSH आधार कार्यों कार्तीय निर्देशांक में वर्णित हैं।

रोटेशन और जोनल हार्मोनिक्स पर नोट्स

इस z- अक्ष के चारों ओर घूर्णी सममिति वाले कार्य एक सफल विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति के लिए बहुत अच्छे उम्मीदवार हैं, क्योंकि वे केवल जोनल गुणांक को प्रभावित करते हैं, जो कि सूचकांक m के साथ सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यह अधिक सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए विशेष रूप से सहायक है जहां एक आसान सूत्र मौजूद है जो किसी भी दिशा में एक जोनल गोलाकार हार्मोनिक्स प्रतिनिधित्व को एक मनमानी दिशा में घुमाने की अनुमति देता है, जिसके परिणामस्वरूप किसी भी डेटा हानि के बिना एक गोलाकार हार्मोनिक्स प्रतिनिधित्व होता है ( यहां देखें)। इसका अर्थ है कि आप ZSH गुणांक को यह मानकर प्राप्त कर सकते हैं कि आपका रेडियल सममित "फ़ंक्शन पॉइंट टू ज़ेड" है और इसे फिर से किसी वांछित दिशा में घुमाएं। यह विभिन्न कोसाइन लोब विविधताओं के साथ उदाहरण के लिए पूरी तरह से काम करता है और आपको प्रश्न में वर्णित कारकों को भी देता है।

अब बुरी खबर: एचएसएच के लिए, जेड की तुलना में किसी अन्य अक्ष के चारों ओर एक फ़ंक्शन का कोई भी घुमाव हानिपूर्ण है, क्योंकि आपका फ़ंक्शन रोटेशन के बाद कम अपरिभाषित गोलार्ध को "स्पर्श" करेगा। इसलिए, कोई भी सुविधाजनक "हेमी ज़ोनल से एचएसएच" रोटेशन फॉर्मूला नहीं है। इसके बजाय, विभिन्न कमियों के साथ इसे करने के कई तरीके हैं। अधिक जानकारी के लिए कागज और प्रस्तुति देखें ।

वैसे: यह सब एच-बेसिस के साथ आसान है , जो कि गोलार्द्ध के रूप में अच्छी तरह से है (लेकिन मूल रूप से केवल सीमित संख्या में आवृत्ति-बैंड के लिए परिभाषित किया गया है)।

— Wumpf
स्रोत