हास्केल, 838 बाइट्स
"यदि आप कुछ करना चाहते हैं, ..."
import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0
व्याख्या
यह प्रोग्राम सीधे 0 = 1. पीनो अंकगणितीय प्रमाण के लिए खोज करता है क्योंकि पीए सुसंगत है, यह कार्यक्रम कभी समाप्त नहीं होता है; लेकिन चूंकि पीए अपनी स्वयं की स्थिरता साबित नहीं कर सकता है, इसलिए इस कार्यक्रम की गैर-व्यवस्था पीए से स्वतंत्र है।
T अभिव्यक्ति और प्रस्ताव का प्रकार है:
A Pप्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है [ x [ P ( x )]।(V 1 :$ P) :$ Qप्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है पी → क्यू ।V 2 :$ Pप्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है । पी ।(V 3 :$ x) :$ yप्रस्ताव x = y का प्रतिनिधित्व करता है ।(V 4 :$ x) :$ yप्राकृतिक x + y का प्रतिनिधित्व करता है ।(V 5 :$ x) :$ yप्राकृतिक का प्रतिनिधित्व करता है एक्स ⋅ y ।V 6 :$ xप्राकृतिक S ( x ) = x + 1 का प्रतिनिधित्व करता है ।V 7 प्राकृतिक 0 को दोहराता है।
I फ्री वैरिएबल वाले वातावरण में , हम भाव, प्रस्ताव और प्रमाण को 2 × 2 पूर्णांक मैट्रिसेस के रूप में एन्कोड करते हैं [1, 0; ए , बी ], इस प्रकार है:
- M ( i , ( x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
- M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) जहां M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] सभी j > i के लिए
- एम ( i , पी → क्यू ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) i M ( i , Q )
- एम ( i , ( P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ एम ( i , P )
- एम ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) i M ( i , y )
- एम ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] (M ( i , x ) i M ( i , y )
- एम ( i , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] (M ( i , x ) i M ( i , y )
- एम ( i , एस एक्स ) = [1, 0; 3, 4 + i ] (M ( i , x )
- एम ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
- एम ( मैं , ( Γ , पी ) ⊢ पी ) = [1, 0; 1, 4]
- एम ( मैं , गामा ⊢ पी ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ एम ( मैं , क्यू ) ⋅ एम ( मैं , गामा ⊢ क्यू ) ⋅ एम ( मैं , गामा ⊢ क्यू → पी )
- एम ( मैं , गामा ⊢ पी ( एक्स )) = [1, 0; 3, 4] (M ( i , λ x [P (x)])] M ( i , x ) 0 [1, 0; 1, 2] ⋅ एम ( मैं , गामा ⊢ ∀ एक्स पी (x))
- एम ( मैं , गामा ⊢ पी ( एक्स )) = [1, 0; 3, 4] (M ( i , λ x [P (x)])] M ( i , x ) 0 [1, 0; 2, 2] ⋅ एम ( मैं , y ) ⋅ एम ( मैं , गामा ⊢ y = एक्स ) ⋅ एम ( मैं , गामा ⊢ पी ( y ))
- एम ( मैं , गामा ⊢ ∀ एक्स , पी ( एक्स )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ एम ( मैं , λ एक्स [ गामा ⊢ पी ( एक्स )])
- एम ( मैं , गामा ⊢ ∀ एक्स , पी ( एक्स )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ एम ( मैं , Γ ⊢ पी (0)) ⋅ एम ( मैं , λ एक्स [( Γ , पी ( एक्स )) ⊢ पी (एस ( एक्स ))])
- एम ( मैं , गामा ⊢ पी → क्यू ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ एम ( मैं , ( Γ , पी ) ⊢ क्यू )
- एम ( मैं , गामा ⊢ पी → क्यू ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ एम ( मैं , ( Γ , ¬ क्यू ) ⊢ ¬ पी )
शेष स्वयंसिद्ध संख्यात्मक रूप से एन्कोड किए गए हैं और प्रारंभिक वातावरण में शामिल हैं oms :
- एम (0, ( x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
- एम (0, ( x [¬ (एस ( एक्स ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
- एम (0, ∀ एक्स ∀ y [एस ( एक्स ) = एस ( y ) → एक्स = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
- एम (0, ( x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
- एम (0, [ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
- एम (0, ( x [ x 0 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
- एम (0, ∀ एक्स ∀ y [ एक्स ⋅ एस ( y ) = एक्स ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]
मैट्रिक्स के साथ एक सबूत [1, 0; एक , ख ] किया जा सकता है की जाँच की केवल नीचे-बाएं कोने दिया एक (या करने के लिए किसी अन्य मान अनुकूल एक सापेक्ष ख ); अन्य मान प्रमाणों की संरचना को सक्षम करने के लिए हैं।
उदाहरण के लिए, यहां एक प्रमाण है कि इसके अलावा सराहनीय है।
- एम (0, गामा ⊢ ∀ एक्स ∀ y [ x + y = y + एक्स]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]
आप इसे इस कार्यक्रम के साथ सत्यापित कर सकते हैं:
*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]
यदि सबूत अमान्य थे, तो आपको इसके बजाय खाली सूची मिलेगी।