(कुछ हद तक) पैदाइशी जन्मदिन का विरोधाभास

Question

पृष्ठभूमि

जन्मदिन विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत जो खारिज कर देता है में एक लोकप्रिय समस्या (ज्यादातर लोगों के) गणितीय अंतर्ज्ञान है। समस्या कथन है:

एन लोगों को देखते हुए , क्या संभावना है कि उनमें से कम से कम दो में एक ही जन्मदिन (वर्ष की उपेक्षा) हो।

लीप के दिनों को पूरी तरह से नजरअंदाज करके समस्या को सरल बना दिया जाता है। इस मामले में, N = 23 का उत्तर P (23) 29 0.5072972 (एक सामान्य उदाहरण के रूप में) है। जुड़ा हुआ विकिपीडिया लेख बताता है कि इस संभावना पर कैसे पहुंचा जाए। वैकल्पिक रूप से, यह नंबरफाइल वीडियो वास्तव में अच्छा काम करता है।

हालाँकि, इस चुनौती के लिए हम इसे सही करना चाहते हैं और लीप वर्षों की अनदेखी नहीं करते हैं। यह थोड़ा और अधिक जटिल है, क्योंकि अब 29 फरवरी को जोड़ने की आवश्यकता है, लेकिन इस विशेष जन्मदिन में अन्य सभी की तुलना में कम संभावना है।

हम पूर्ण लीप वर्ष नियमों का भी उपयोग करेंगे :

• यदि एक वर्ष 400 से विभाज्य है तो यह एक लीप वर्ष है।
• एल्स, यदि एक वर्ष 100 से विभाज्य है, तो यह एक लीप वर्ष नहीं है।
• यदि एक वर्ष 4 से विभाज्य है, तो यह एक लीप वर्ष है।
• और, यह एक लीप वर्ष नहीं है।

उलझन में? इसका अर्थ है कि वर्ष 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300 लीप वर्ष नहीं हैं, लेकिन 1600, 2000, 2400 (साथ ही 4 से विभाज्य किसी भी वर्ष) हैं। यह कैलेंडर हर 400 साल में दोहराता है, और हम उन 400 वर्षों में जन्मदिन का एक समान वितरण मान लेंगे।

N = 23 के लिए सही परिणाम अब P (23) 87 0.5068761 है ।

चुनौती

पूर्णांक को देखते हुए 1 ≤ N < 100, इस संभावना को निर्धारित करें कि Nकम से कम दो लोगों के बीच लीप वर्ष के नियमों के तहत एक ही जन्मदिन है। परिणाम एक फ्लोटिंग-पॉइंट या निश्चित-बिंदु संख्या होना चाहिए, जो कम से कम 6 दशमलव स्थानों पर सटीक हो। यह अनुगामी शून्य को काट देने के लिए स्वीकार्य है।

आप STDIN (या निकटतम विकल्प), कमांड-लाइन तर्क या फ़ंक्शन तर्क के माध्यम से इनपुट लेते हुए एक प्रोग्राम या फ़ंक्शन लिख सकते हैं, और परिणाम को STDOUT (या निकटतम वैकल्पिक), फ़ंक्शन रिटर्न मान या फ़ंक्शन (आउट) पैरामीटर के माध्यम से आउटपुट कर सकते हैं।

आपका समाधान सेकंड के एक मामले में सभी 99 इनपुट के लिए आउटपुट का उत्पादन करने में सक्षम होना चाहिए। यह मुख्य रूप से टन के नमूनों के साथ मोंटे कार्लो विधियों का शासन करने के लिए है, इसलिए यदि आप एक अत्यधिक धीमी गूढ़ भाषा में मुख्य रूप से तेज़ और सटीक एल्गोरिदम का उपयोग कर रहे हैं, तो मैं इस नियम पर लेवे देने को तैयार हूं।

परीक्षण के मामलों

यहाँ परिणामों की पूरी तालिका है:

 1 => 0.000000
 2 => 0.002737
 3 => 0.008195
 4 => 0.016337
 5 => 0.027104
 6 => 0.040416
 7 => 0.056171
 8 => 0.074251
 9 => 0.094518
10 => 0.116818
11 => 0.140987
12 => 0.166844
13 => 0.194203
14 => 0.222869
15 => 0.252642
16 => 0.283319
17 => 0.314698
18 => 0.346578
19 => 0.378764
20 => 0.411063
21 => 0.443296
22 => 0.475287
23 => 0.506876
24 => 0.537913
25 => 0.568260
26 => 0.597796
27 => 0.626412
28 => 0.654014
29 => 0.680524
30 => 0.705877
31 => 0.730022
32 => 0.752924
33 => 0.774560
34 => 0.794917
35 => 0.813998
36 => 0.831812
37 => 0.848381
38 => 0.863732
39 => 0.877901
40 => 0.890932
41 => 0.902870
42 => 0.913767
43 => 0.923678
44 => 0.932658
45 => 0.940766
46 => 0.948060
47 => 0.954598
48 => 0.960437
49 => 0.965634
50 => 0.970242
51 => 0.974313
52 => 0.977898
53 => 0.981043
54 => 0.983792
55 => 0.986187
56 => 0.988266
57 => 0.990064
58 => 0.991614
59 => 0.992945
60 => 0.994084
61 => 0.995055
62 => 0.995880
63 => 0.996579
64 => 0.997169
65 => 0.997665
66 => 0.998080
67 => 0.998427
68 => 0.998715
69 => 0.998954
70 => 0.999152
71 => 0.999314
72 => 0.999447
73 => 0.999556
74 => 0.999645
75 => 0.999717
76 => 0.999775
77 => 0.999822
78 => 0.999859
79 => 0.999889
80 => 0.999913
81 => 0.999932
82 => 0.999947
83 => 0.999959
84 => 0.999968
85 => 0.999976
86 => 0.999981
87 => 0.999986
88 => 0.999989
89 => 0.999992
90 => 0.999994
91 => 0.999995
92 => 0.999996
93 => 0.999997
94 => 0.999998
95 => 0.999999
96 => 0.999999
97 => 0.999999
98 => 0.999999
99 => 1.000000

(बेशक, पी (99) गोलाई के कारण केवल 1.0 है । संभाव्यता 1.0 तक पी (367) तक नहीं होगी ।)

Comments

1. यदि आप बालिग होने जा रहे हैं तो आपको इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि जन्मदिन पूरे वर्ष में समान रूप से वितरित नहीं किया जाता है। 2. लीप वर्ष के नियमों की सटीक प्रासंगिकता इस बात पर निर्भर करती है कि मानव दीर्घायु के बारे में क्या धारणाएं हैं। क्या पूरे 400 साल के चक्र पर परिशोधन करने का विचार है?

— पीटर टेलर

@PeterTaylor हां, पूरे 400 साल के चक्र पर समान वितरण का अनुमान लगाएं। मैंने कभी नहीं कहा कि एन लोगों का सेट एक ही समय में जीवित था। ;)

— मार्टिन एंडर

Answer 1

पायथ, 31 34 बाइट्स

Jt.2425K366-1c.xX0rK-KQ*JQ^+KJQ

प्रदर्शन , टेस्ट हार्नेस

यह पुराने संस्करण के समान ही काम करता है, सिवाय इसके कि अलग से (366 + n * (.2425 - 1)) मान उत्पन्न करने और उस पर गुणा करने के बजाय, यह एक सूची उत्पन्न करके शुरू होता है जो 366 से 365 - n + 2 तक फैलता है, तब 366 बनने की जगह को संशोधित करता है (366 + n * (.2425 - 1)), और फिर सूची का उत्पाद लेता है। साथ ही, 365 और .2425 के बजाय 366 और -7575 वाले स्थिरांक का उपयोग किया जाता है।

---

पुराना संस्करण:

पायथ, 34 बाइट्स

J.2425K365-1c*+hK*QtJ.xrK-hKQ^+KJQ

एक ही जन्मदिन वाले लोगों की कोई जोड़ी नहीं होने के दो संभावित तरीके हैं: हर किसी का जन्मदिन अलग-अलग है, और किसी का जन्मदिन 29 फरवरी को नहीं है, और किसी का जन्मदिन 29 तारीख को है, और बाकी सभी का जन्मदिन अलग-अलग है सामान्य दिनों में जन्मदिन।

पहली बार होने की संभावना (365 * 364 * ... 365 - n + 1) / (365.2425 ^ n) है।

दूसरी होने की संभावना (365 * 364 * ... 365 - n + 2) * .2425 * n / (365.2425 ^ n) है

इन्हें एक साथ (365 * 364 * ... 365 - n + 2) * (365 - n + 1_2425 * n) / (365.2425 ^ n) = (365 * 364 * ... 365) के रूप में लिखा जा सकता है। n + 2) * (365 + 1 + (.2425 - 1) * n) / (365.2425 ^ n)।

यह बिना जोड़े की संभावना है, इसलिए कम से कम एक जोड़ी की संभावना उपरोक्त संख्या से एक शून्य है।

J = .2425
K = 365
.xrK-hKQ = (365 * 364 * ... 365 - n + 2)
+hK*QtJ = (365 + 1 + n * (.2425 - 1))
^+KJQ = (365.2425 ^ n)

Answer 2

अजगर, 179 178 144 143 140 136 135 133

f=.2425
g=365+f
a=lambda n:(n and(365-n)*a(n-1)or 365)/g
b=lambda n:(n<2and f or(367-n)*b(n-1)+a(n-2)*f)/g
p=lambda n:1-a(n-1)-b(n)

p(n)परिणाम देता है। सटीक परिणाम प्राप्त .2425करने के fractions.Fraction(97,400)लिए बदलें ।

Comments

आप के बीच एक रिक्ति की जरूरत नहीं है 2और and।

— इसहाक

आप में नहीं डाल सकते 1/के लिए gऔर भाग बजाय इसे द्वारा?

— xnor

@xnor Yep, समय के साथ ये चीजें खो जाती हैं :) जो एक बार एक अनुकूलन था वह बाद में उप-रूपी हो जाता है।

— orlp

आप e=365ई द्वारा 2 से 365 को 367 में बदल सकते हैं और प्रतिस्थापित कर सकते हैं + 2

— विलेम

@willem यह छोटा नहीं है।

— orlp

Answer 3

पायथन 155 153 153 151 142 140 बाइट्स

d=146097
b=d/400
c=97/d
e=lambda n:n<2and 1-97/d or e(n-1)*(366-n)/b
f=lambda n:n<2and c or f(n-1)*(367-n)/b+e(n-1)*c
a=lambda n:1-e(n)-f(n)

a(n)परिणाम के लिए कॉल करें । सटीक परिणामों के लिए, dएक अंश में लपेटें ।

यहाँ परीक्षण करें

यहाँ के रूप में एक ही तकनीक का उपयोग करता है , लेकिन संशोधित स्थिरांक के साथ।

Comments

आप के बीच एक रिक्ति की जरूरत नहीं है 2और and।

— इसहाक

मैंने सोचा था कि यह 98 था (हालांकि मेरे पास एक गणना गलती हो सकती है ...)

— टिम

Answer 4

80386 मशीन कोड, 43 बाइट्स

कोड के Hexdump:

68 75 6e 33 3b 68 5a eb 07 3b 8b c4 49 d9 e8 d9
e8 d8 00 d9 e8 d9 40 04 de ea d8 c9 d9 00 de eb
e2 f3 d8 ca d9 e8 d8 e1 58 58 c3

मैंने निम्न सूत्र से शुरू किया (पूरक संभावना के लिए):

(यहां d = 366 * 400 - 303400 वर्षों में दिनों की संख्या है)

यहाँ c ++ कोड है जो इसे लागू करता है (यह पहले से ही थोड़ा अनुकूलित है):

double it_opt(int k)
{
    double d = 366 * 400 - 303; // number of days in 400 years
    double result = 1; // probability of no coincidences
    const float const1 = float(400 / d);
    const float const2 = float(303 / d);
    double v1 = 1 + const2;
    double v2 = 1;

    for (int i = 0; i < k - 1; ++i)
    {
        v1 -= const1;
        result *= v1;
        v2 -= const2;
    }
    result *= v2;
    return 1 - result;
}

कोड को व्यवस्थित किया जाता है, इसलिए इसमें स्थिरांक की न्यूनतम संख्या की आवश्यकता होती है - केवल दो ( 400 / dऔर 303 / d)। मैं floatउनका प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रकार का उपयोग करता हूं क्योंकि यह कम स्थान (4 बाइट्स प्रति स्थिर) पर है। इसके अलावा, मैं गुणा नहीं करना चाहता था const2द्वारा k - 1(है कि क्योंकि परिवर्तित करने की आवश्यकता होगी k - 1करने के लिए float); कोड const2इसके बजाय बार-बार घटता है।

यहाँ विधानसभा भाषा सूची है:

    ; // fastcall convention - parameter k is in ecx
    ; // result must be returned in st
    push dword ptr 0x3b336e75; // const1 = [esp + 4]
    push dword ptr 0x3b07eb5a; // const2 = [esp]
    mov eax, esp;              // use [eax] instead of [esp] - 1 byte less
    dec ecx;                   // calculate k - 1
    fld1;                      // initiaze result = 1
    fld1;                      // initialize v1
    fadd [eax];
    fld1;                      // initialilze v2
myloop:
    fld dword ptr [eax + 4];
    fsubp st(2), st;            // update v1
    fmul st, st(1);             // update result
    fld dword ptr [eax];
    fsubp st(3), st;            // update v2
    loop myloop;                // loop
    fmul st, st(2);             // update result by v2
    fld1;
    fsub st, st(1);             // complement result
    pop eax;                    // restore stack
    pop eax;                    // restore stack
    ret;                        // return