सुपर स्पीडी टोटिएंट फंक्शन

Question

लक्ष्य सरल है: 10 सेकंड में जितनी संख्या हो सके उतनी संख्याओं के लिए कुल फ़ंक्शन की गणना करें और संख्याओं का योग करें।

आपको अपना परिणाम अंत में प्रिंट करना होगा और आपको वास्तव में इसकी गणना करनी होगी। कोई भी स्वचालित टोटेटिव फ़ंक्शन की अनुमति नहीं है, लेकिन बिग्नम लाइब्रेरी हैं। आपको 1 पर शुरू करना होगा और सभी पूर्णांकों को लगातार गिनना होगा। आपको संख्याओं को छोड़ने की अनुमति नहीं है ।

आपका स्कोर यह है कि आपका प्रोग्राम आपके मशीन पर कितने नंबर की गणना कर सकता है / कितने प्रोग्राम मेरे मशीन पर गणना कर सकते हैं । मेरा कोड C ++ (अनुकूलन बंद) में एक सरल प्रोग्राम है, उम्मीद है कि आप इसे चला सकते हैं।

महत्वपूर्ण गुण आप उपयोग कर सकते हैं!

• अगर gcd(m,n) = 1, phi(mn) = phi(m) * phi(n)
• अगर pप्रधान है, phi(p) = p - 1(के लिए p < 10^20)
• अगर nहै भी,phi(2n) = 2 phi(n)
• पहले लिंक में सूचीबद्ध अन्य

मेरा कोड

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    while (b != 0)
    {
        int c = a % b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return a;
}

int phi(int n)
{
    int x = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        if (gcd(n, i) == 1)
            x++;
    }
    return x;
}

int main()
{
    unsigned int sum = 0;
    for (int i=1; i<19000; i++) // Change this so it runs in 10 seconds
    {
        sum += phi(i);
    }
        cout << sum << endl;
        return 0;
}

Comments

हो सकता है कि आप यह जोड़ना चाहें कि इनपुट नंबर लगातार पूर्णांक होना चाहिए। अन्यथा मुझे केवल 2 की शक्तियों के लिए कुल कार्य की गणना करने के लिए लुभाया जा सकता है।

— हॉवर्ड

क्या मैं ऐसा कर सकता हूं 1, 3, 5, 2, 4या पसंद कर सकता हूं ?

— लीकी नून

Answer 1

निमरोड: ~ 38,667 (580,000,000 / 15,000)

यह उत्तर एक बहुत ही सरल दृष्टिकोण का उपयोग करता है। कोड एक साधारण प्राइम नंबर छलनी को नियोजित करता है जो कि प्रत्येक स्लॉट में सबसे छोटी प्राइम पॉवर को कंपोजिट नंबरों (प्राइम्स के लिए शून्य) में स्टोर करता है, फिर उसी रेंज में टोटिएंट फंक्शन के निर्माण के लिए डायनामिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करता है, फिर नतीजे बताता है। कार्यक्रम लगभग हर समय छलनी का निर्माण करता है, फिर समय के एक अंश में कुल कार्य की गणना करता है। ऐसा लगता है कि यह एक कुशल छलनी का निर्माण करने के लिए नीचे आता है (मामूली मोड़ के साथ कि किसी को परिणाम से समग्र संख्या के लिए एक प्रमुख कारक निकालने में सक्षम होना पड़ता है और एक उचित स्तर पर स्मृति उपयोग रखना पड़ता है)।

अपडेट: मेमोरी फुटप्रिंट को कम करके और कैश व्यवहार में सुधार करके बेहतर प्रदर्शन। 5% -10% अधिक प्रदर्शन को निचोड़ना संभव है, लेकिन कोड जटिलता में वृद्धि इसके लायक नहीं है। अंततः, यह एल्गोरिथ्म मुख्य रूप से सीपीयू के वॉन न्यूमैन टोंटी का अभ्यास करता है, और बहुत कम एल्गोरिदमिक मोड़ हैं जो इसके आसपास हो सकते हैं।

C ++ कोड के सभी अनुकूलन के साथ संकलित होने का मतलब नहीं था क्योंकि किसी और ने ऐसा नहीं किया था, साथ ही प्रदर्शन विभाजक को भी अपडेट किया। :)

अपडेट 2: बेहतर मेमोरी एक्सेस के लिए ऑप्टिमाइज्ड छलनी ऑपरेशन। अब मेम्ची () (~ 5% स्पीडअप) के माध्यम से थोक में छोटे अपराधों को संभालना और बड़े primes (~ 10% स्पीडअप) को छोड़ते समय 2, 3, और 5 के गुणक को छोड़ देना।

सी ++ कोड: 9.9 सेकंड (जी ++ 4.9 के साथ)

निमरोड कोड: 9.9 सेकंड (-d: रिलीज़, gcc 4.9 बैकएंड)

proc handleSmallPrimes(sieve: var openarray[int32], m: int) =
  # Small primes are handled as a special case through what is ideally
  # the system's highly optimized memcpy() routine.
  let k = 2*3*5*7*11*13*17
  var sp = newSeq[int32](k div 2)
  for i in [3,5,7,11,13,17]:
    for j in countup(i, k, 2*i):
      sp[j div 2] = int32(i)
  for i in countup(0, sieve.high, len(sp)):
    if i + len(sp) <= len(sieve):
      copyMem(addr(sieve[i]), addr(sp[0]), sizeof(int32)*len(sp))
    else:
      copyMem(addr(sieve[i]), addr(sp[0]), sizeof(int32)*(len(sieve)-i))
  # Fixing up the numbers for values that are actually prime.
  for i in [3,5,7,11,13,17]:
    sieve[i div 2] = 0

proc constructSieve(m: int): seq[int32] =
  result = newSeq[int32](m div 2 + 1)
  handleSmallPrimes(result, m)
  var i = 19
  # Having handled small primes, we only consider candidates for
  # composite numbers that are relatively prime with 31. This cuts
  # their number almost in half.
  let steps = [ 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ]
  var isteps: array[8, int]
  while i * i <= m:
    if result[i div 2] == 0:
      for j in 0..7: isteps[j] = i*(steps[j+1]-steps[j])
      var k = 1 # second entry in "steps mod 30" list.
      var j = 7*i
      while j <= m:
        result[j div 2] = int32(i)
        j += isteps[k]
        k = (k + 1) and 7 # "mod 30" list has eight elements.
    i += 2

proc calculateAndSumTotients(sieve: var openarray[int32], n: int): int =
  result = 1
  for i in 2'i32..int32(n):
    var tot: int32
    if (i and 1) == 0:
      var m = i div 2
      var pp: int32 = 2
      while (m and 1) == 0:
        pp *= 2
        m = m div 2
      if m == 1:
        tot = pp div 2
      else:
        tot = (pp div 2) * sieve[m div 2]
    elif sieve[i div 2] == 0: # prime?
      tot = i - 1
      sieve[i div 2] = tot
    else:
      # find and extract the first prime power pp.
      # It's relatively prime with i/pp.
      var p = sieve[i div 2]
      var m = i div p
      var pp = p
      while m mod p == 0 and m != p:
        pp *= p
        m = m div p
      if m == p: # is i a prime power?
        tot = pp*(p-1)
      else:
        tot = sieve[pp div 2] * sieve[m div 2]
      sieve[i div 2] = tot
    result += tot

proc main(n: int) =
  var sieve = constructSieve(n)
  let totSum = calculateAndSumTotients(sieve, n)
  echo totSum

main(580_000_000)

Comments

महाकाव्य! +1। निम्रोद की शुरुआत अधिक लोकप्रिय होने के लिए हुई; 3

— cjfaure

रुकिए। ओह। मैं आपके दूसरे उत्तर को बढ़ा रहा हूं। : पी

— cjfaure

क्या निमरोड पायथन और सी के बीच एक क्रॉस है?

— mbomb007

निम्रोद को हाल ही में निम का नाम दिया गया था; जबकि यह पाइथन की वाक्य-शैली को उधार लेता है, शब्दार्थ अलग हैं, और सी के विपरीत, यह मेमोरी-सेफ है (जब तक आप असुरक्षित सुविधाओं का उपयोग नहीं करते हैं) और इसमें कचरा संग्रह होता है।

— रीमर

Answer 2

जावा, स्कोर ~ 24,000 (360,000,000 / 15,000)

नीचे दिए गए जावा कोड, कुल फ़ंक्शन और प्राइम छलनी की गणना एक साथ करते हैं। ध्यान दें कि आपकी मशीन के आधार पर आपको प्रारंभिक / अधिकतम ढेर का आकार बढ़ाना होगा (मेरे बजाय धीमी गति से लैपटॉप पर मुझे ऊपर जाना था -Xmx3g -Xms3g)।

public class Totient {

    final static int size = 360000000;
    final static int[] phi = new int[size];

    public static void main(String[] args) {
        long time = System.currentTimeMillis();
        long sum = 0;

        phi[1] = 1;
        for (int i = 2; i < size; i++) {
            if (phi[i] == 0) {
                phi[i] = i - 1;
                for (int j = 2; i * j < size; j++) {
                    if (phi[j] == 0)
                        continue;

                    int q = j;
                    int f = i - 1;
                    while (q % i == 0) {
                        f *= i;
                        q /= i;
                    }
                    phi[i * j] = f * phi[q];
                }
            }
            sum += phi[i];
        }
        System.out.println(System.currentTimeMillis() - time);
        System.out.println(sum);
    }
}

Answer 3

निमरोड: ~ 2,333,333 (42,000,000,000 / 18,000)

यह मेरे पिछले उत्तर से पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण का उपयोग करता है। विवरण के लिए टिप्पणियाँ देखें। longintमॉड्यूल पाया जा सकता है यहाँ ।

import longint

const max = 500_000_000

var ts_mem: array[1..max, int]

# ts(n, d) is defined as the number of pairs (a,b)
# such that 1 <= a <= b <= n and gcd(a,b) = d.
#
# The following equations hold:
#
# ts(n, d) = ts(n div d, 1)
# sum for i in 1..n of ts(n, i) = n*(n+1)/2
#
# This leads to the recurrence:
# ts(n, 1) = n*(n+1)/2 - sum for i in 2..n of ts(n, i)
#
# or, where ts(n) = ts(n, 1):
# ts(n) = n*(n+1)/2 - sum for i in 2..n of ts(n div i)
#
# Note that the large numbers that we deal with can
# overflow 64-bit integers.

proc ts(n, gcd: int): int =
  if n == 0:
    result = 0
  elif n == 1 and gcd == 1:
    result = 1
  elif gcd == 1:
    result = n*(n+1) div 2
    for i in 2..n:
      result -= ts(n, i)
  else:
    result = ts(n div gcd, 1)

# Below is the optimized version of the same algorithm.

proc ts(n: int): int =
  if n == 0:
    result = 0
  elif n == 1:
    result = 1
  else:
    if n <= max and ts_mem[n] > 0:
      return ts_mem[n]
    result = n*(n+1) div 2
    var p = n
    var k = 2
    while k < n div k:
      let pold = p
      p = n div k
      k += 1
      let t = ts(n div pold)
      result -= t * (pold-p)
    while p >= 2:
      result -= ts(n div p)
      p -= 1
    if n <= max:
      ts_mem[n] = result

proc ts(n: int128): int128 =
  if n <= 2_000_000_000:
    result = ts(n.toInt)
  else:
    result = n*(n+1) div 2
    var p = n
    var k = 2
    while k < n div k:
      let pold = p
      p = n div k
      k += 1
      let t = ts(n div pold)
      result = result - t * (pold-p)
    while p >= 2:
      result = result - ts(n div p)
      p = p - 1

echo ts(42_000_000_000.toInt128)

Comments

देवियों और सज्जनों, इसे ही मैं जादूगरी कहता हूं।

— अन्ना जोकेला

सीधे राशि की गणना के लिए शानदार दृष्टिकोण, लेकिन दुर्भाग्य से यह उतने संख्या के लिए कुल फ़ंक्शन की गणना नहीं करता है जितना कि आप कर सकते हैं जो कि ऊपर की चुनौती है। आपका कोड वास्तव में केवल कई हज़ार नंबरों (लगभग) के लिए परिणामों की गणना करता है (कुल कार्य का परिणाम भी नहीं 2*sqrt(n)) जो बहुत कम स्कोर के लिए बनाता है।

— हावर्ड

Answer 4

C #: 49,000 (980,000,000 / 20,000)

/codegolf//a/26800 "हॉवर्ड का कोड"।
लेकिन संशोधित, फी मूल्यों की गणना विषम पूर्णांक के लिए की जाती है।

using System;
using sw = System.Diagnostics.Stopwatch;
class Program
{
    static void Main()
    {
        sw sw = sw.StartNew();
        Console.Write(sumPhi(980000000) + " " + sw.Elapsed);
        sw.Stop(); Console.Read();
    }

    static long sumPhi(int n)  // sum phi[i] , 1 <= i <= n
    {
        long s = 0; int[] phi;
        if (n < 1) return 0; phi = buildPhi(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) s += getPhi(i, phi);
        return s;
    }

    static int getPhi(int i, int[] phi)
    {
        if ((i & 1) > 0) return phi[i >> 1];
        if ((i & 3) > 0) return phi[i >> 2];
        int z = ntz(i); return phi[i >> z >> 1] << z - 1;
    }

    static int[] buildPhi(int n)  // phi[i >> 1] , i odd , i < n
    {
        int i, j, y, x, q, r, f; int[] phi;
        if (n < 2) return new int[] { 0 };
        phi = new int[n / 2]; phi[0] = 1;
        for (j = 2, i = 3; i < n; i *= 3, j *= 3) phi[i >> 1] = j;
        for (x = 4, i = 5; i <= n >> 1; i += x ^= 6)
        {
            if (phi[i >> 1] > 0) continue; phi[i >> 1] = i ^ 1;
            for (j = 3, y = 3 * i; y < n; y += i << 1, j += 2)
            {
                if (phi[j >> 1] == 0) continue; q = j; f = i ^ 1;
                while ((r = q) == i * (q /= i)) f *= i;
                phi[y >> 1] = f * phi[r >> 1];
            }
        }
        for (; i < n; i += x ^= 6)  // primes > n / 2 
            if (phi[i >> 1] == 0)
                phi[i >> 1] = i ^ 1;
        return phi;
    }

    static int ntz(int i)  // number of trailing zeros
    {
        int z = 1;
        if ((i & 0xffff) == 0) { z += 16; i >>= 16; }
        if ((i & 0x00ff) == 0) { z += 08; i >>= 08; }
        if ((i & 0x000f) == 0) { z += 04; i >>= 04; }
        if ((i & 0x0003) == 0) { z += 02; i >>= 02; }
        return z - (i & 1);
    }
}

नया स्कोर: 61,000 (1,220,000,000 / 20,000)
"App.config" में मुझे "gcAllowVeryLargeObjects इनेबल = ट्रू" जोड़ना था।

    static long sumPhi(int n)
    {
        int i1, i2, i3, i4, z; long s1, s2, s3, s4; int[] phi;
        if (n < 1) return 0; phi = buildPhi(n + 1); n -= 4; z = 2;
        i1 = 1; i2 = 2; i3 = 3; i4 = 4; s1 = s2 = s3 = s4 = 0;
        if (n > 0)
            for (; ; )
            {
                s1 += phi[i1 >> 1];
                s2 += phi[i2 >> 2];
                s3 += phi[i3 >> 1];
                s4 += phi[i4 >> z >> 1] << z - 1;
                i1 += 4; i2 += 4; i3 += 4; i4 += 4;
                n -= 4; if (n < 0) break;
                if (z == 2)
                {
                    z = 3; i4 >>= 3;
                    while ((i4 & 3) == 0) { i4 >>= 2; z += 2; }
                    z += i4 & 1 ^ 1;
                    i4 = i3 + 1;
                }
                else z = 2;
            }
        if (n > -4) s1 += phi[i1 >> 1];
        if (n > -3) s2 += phi[i2 >> 2];
        if (n > -2) s3 += phi[i3 >> 1];
        if (n > -1) s4 += phi[i4 >> z >> 1] << z - 1;
        return s1 + s2 + s3 + s4;
    }

    static int[] buildPhi(int n)
    {
        int i, j, y, x, q0, q1, f; int[] phi;
        if (n < 2) return new int[] { 0 };
        phi = new int[n / 2]; phi[0] = 1;
        for (uint u = 2, v = 3; v < n; v *= 3, u *= 3) phi[v >> 1] = (int)u;
        for (x = 4, i = 5; i <= n >> 1; i += x ^= 6)
        {
            if (phi[i >> 1] > 0) continue; phi[i >> 1] = i ^ 1;
            for (j = 3, y = 3 * i; y < n; y += i << 1, j += 2)
            {
                if (phi[j >> 1] == 0) continue; q0 = j; f = i ^ 1;
                while ((q1 = q0) == i * (q0 /= i)) f *= i;
                phi[y >> 1] = f * phi[q1 >> 1];
            }
        }
        for (; i < n; i += x ^= 6)
            if (phi[i >> 1] == 0)
                phi[i >> 1] = i ^ 1;
        return phi;
    }

Answer 5

अजगर 3: ~ 24000 (335,000,000 / 14,000)

मेरा संस्करण हावर्ड के एल्गोरिथ्म का पायथन पोर्ट है । मेरा मूल कार्य इस ब्लॉगपोस्ट में पेश किए गए एल्गोरिदम का एक संशोधन था ।

निष्पादन समय को तेज करने के लिए मैं Numpy और Numba मॉड्यूल का उपयोग कर रहा हूं। ध्यान दें कि आम तौर पर आपको स्थानीय वेरिएबल्स के प्रकार (नंबा का उपयोग करते समय) घोषित करने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन इस मामले में मैं निष्पादन समय को यथासंभव निचोड़ना चाहता था।

संपादित करें: एक ही कार्य में संयुक्त निर्माण और सारांश कार्य करता है।

सी ++: 9.99 एस (एन = 14,000); पायथन 3: 9.94s (n = 335,000,000)

import numba as nb
import numpy as np
import time

n = 335000000

@nb.njit("i8(i4[:])", locals=dict(
    n=nb.int32, s=nb.int64, i=nb.int32,
    j=nb.int32, q=nb.int32, f=nb.int32))

def summarum(phi):
    s = 0

    phi[1] = 1

    i = 2
    while i < n:
        if phi[i] == 0:
            phi[i] = i - 1

            j = 2

            while j * i < n:
                if phi[j] != 0:
                    q = j
                    f = i - 1

                    while q % i == 0:
                        f *= i
                        q //= i

                    phi[i * j] = f * phi[q]
                j += 1
        s += phi[i]
        i += 1
    return s

if __name__ == "__main__":
    s1 = time.time()
    a = summarum(np.zeros(n, np.int32))
    s2 = time.time()

    print(a)
    print("{}s".format(s2 - s1))

Comments

जब आप अन्य उपयोगकर्ताओं से कोड कॉपी करते हैं तो आपको उचित क्रेडिट देना चाहिए।

— हावर्ड

उचित क्रेडिट के साथ अद्यतन!

— अन्ना जोकेला

Answer 6

यहाँ मेरा पायथन कार्यान्वयन है जो 10 सेकंड में ~ 60000 संख्याओं को क्रैंक करने में सक्षम लगता है। मैं पोलार्ड आरएच एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए और राबिन मिलर प्राइमलिटी टेस्ट का उपयोग करके संख्याओं को फैक्टर कर रहा हूं।

from Queue import Queue
import random

def gcd ( a , b ):
    while b != 0: a, b = b, a % b
    return a

def rabin_miller(p):
    if(p<2): return False
    if(p!=2 and p%2==0): return False
    s=p-1
    while(s%2==0): s>>=1
    for _ in xrange(10):
        a=random.randrange(p-1)+1
        temp=s
        mod=pow(a,temp,p)
        while(temp!=p-1 and mod!=1 and mod!=p-1):
            mod=(mod*mod)%p
            temp=temp*2
        if(mod!=p-1 and temp%2==0): return False
    return True

def pollard_rho(n):
    if(n%2==0): return 2;
    x=random.randrange(2,1000000)
    c=random.randrange(2,1000000)
    y=x
    d=1
    while(d==1):
        x=(x*x+c)%n
        y=(y*y+c)%n
        y=(y*y+c)%n
        d=gcd(x-y,n)
        if(d==n): break;
    return d;

def primeFactorization(n):
    if n <= 0: raise ValueError("Fucked up input, n <= 0")
    elif n == 1: return []
    queue = Queue()
    factors=[]
    queue.put(n)
    while(not queue.empty()):
        l=queue.get()
        if(rabin_miller(l)):
            factors.append(l)
            continue
        d=pollard_rho(l)
        if(d==l):queue.put(l)
        else:
            queue.put(d)
            queue.put(l/d)
    return factors

def phi(n):

    if rabin_miller(n): return n-1
    phi = n
    for p in set(primeFactorization(n)):
        phi -= (phi/p)
    return phi

if __name__ == '__main__':

  n = 1
  s = 0

  while n < 60000:
    n += 1
    s += phi(n)
  print(s)

Answer 7

= (2 ⁿ ) = 2 ^{n - 1}
φ ) (2 ⁱ ) = 2 ⁱ - 1 से i के लिए 1 से n

सबसे पहले, कुछ समय खोजने के लिए:

import os
from time import perf_counter

SEARCH_LOWER = -1
SEARCH_HIGHER = 1

def integer_binary_search(start, lower=None, upper=None, big_jump=1):
    if lower is not None and lower == upper:
        raise StopIteration # ?

    result = yield start

    if result == SEARCH_LOWER:
        if lower is None:
            yield from integer_binary_search(
                start=start - big_jump,
                lower=None,
                upper=start - 1,
                big_jump=big_jump * 2)
        else:
            yield from integer_binary_search(
                start=(lower + start) // 2,
                lower=lower,
                upper=start - 1)
    elif result == SEARCH_HIGHER:
        if upper is None:
            yield from integer_binary_search(
                start=start + big_jump,
                lower=start + 1,
                upper=None,
                big_jump=big_jump * 2)
        else:
            yield from integer_binary_search(
                start=(start + upper) // 2,
                lower=start + 1,
                upper=upper)
    else:
        raise ValueError('Expected SEARCH_LOWER or SEARCH_HIGHER.')

search = integer_binary_search(start=1000, lower=1, upper=None, big_jump=2500)
n = search.send(None)

while True:
    print('Trying with %d iterations.' % (n,))

    os.spawnlp(
        os.P_WAIT,
        'g++', 'g++', '-Wall', '-Wextra', '-pedantic', '-O0', '-o', 'reference',
        '-DITERATIONS=%d' % (n,),
        'reference.cpp')

    start = perf_counter()
    os.spawnl(os.P_WAIT, './reference', './reference')
    end = perf_counter()
    t = end - start

    if t >= 10.1:
        n = search.send(SEARCH_LOWER)
    elif t <= 9.9:
        n = search.send(SEARCH_HIGHER)
    else:
        print('%d iterations in %f seconds!' % (n, t))
        break

संदर्भ कोड के लिए, मेरे लिए, वह है:

…
14593 पुनरावृत्तियों के साथ प्रयास करना।
64724364
14593 पुनरावृत्तियों 9.987747 सेकंड में!

अब, हास्केल:

import System.Environment (getArgs)

phiSum :: Integer -> Integer
phiSum n = 2 ^ n - 1

main :: IO ()
main = getArgs >>= print . phiSum . (2^) . read . head

यह 0.718 सेकंड में 2525224 अंकों के साथ कुछ बनाता है। और अब मैं सिर्फ हावर्ड की टिप्पणी को देख रहा हूं।

Comments

क्या आप 1 से शुरू होने वाले कुल अंकों के साथ एक अंक पोस्ट कर सकते हैं जो आप योग में कामयाब रहे हैं?

— qwr

@qwr, वह होगा 0. यदि आप लगातार नंबर चाहते हैं, तो आपको इसे अपने प्रश्न में निर्दिष्ट करना चाहिए =)

— Ry-

मैंने किया। मैंने इसे पहले ही संपादित कर लिया है, मैं इसे फिर से संपादित करूँगा।

— qwr

Answer 8

मतलाब: 1464 = 26355867/18000

मैं आपके कोड का परीक्षण नहीं कर सकता, इसलिए मैंने 18000 से विभाजित किया क्योंकि यह परीक्षण करने वालों के सबसे तेज़ कंप्यूटर का प्रतिनिधित्व करता है। मैं इस संपत्ति का उपयोग करते हुए स्कोर पर आया:

• यदि p अभाज्य है, तो phi (p) = p - १ (p <१० ^ २० के लिए)

मुझे ज्यादातर पसंद है कि यह एक लाइनर है:

sum(primes(500000000)-1)

Comments

phi(p)सभी गैर-प्रमुखों के बारे में क्या p?

— ज्योबिट्स

@Geobits मैंने उन्हें छोड़ दिया क्योंकि प्रश्न में यह उल्लेख नहीं है कि आपको कौन से नंबरों का उपयोग करना चाहिए, जब तक कि वे वास्तव में गणना नहीं करते हैं।

— डेनिस जहीरुद्दीन

आह, कि शब्दों में ध्यान नहीं दिया। अच्छा लगा।

— ज्योबिट्स

आपने एक अंक भी पोस्ट नहीं किया ...

— qwr

... एक ही कंप्यूटर पर Matlab & C ++ नहीं होना कैसे संभव है?

— काइल कानोस

Answer 9

पायथन 2.7: 10.999 (165975/15090)

Pypy 2.3.1: 28.496 (430000/15090)

कुछ दिलचस्प तरीके जो मैं उपयोग करता हूं:

राबिन-मिलर मजबूत छद्म क्राइम टेस्ट - एक primality परीक्षण जो यह निर्धारित करने के लिए एक कुशल संभाव्य एल्गोरिथ्म प्रदान करता है कि क्या एक दी गई संख्या प्रमुख है

Euler के उत्पाद सूत्र - उत्पाद n को विभाजित करने वाले अलग-अलग अभाज्य संख्याओं से अधिक है

कोड:

import math
import random

#perform a Modular exponentiation
def modular_pow(base, exponent, modulus):
    result=1
    while exponent>0:
        if exponent%2==1:
           result=(result * base)%modulus
        exponent=exponent>>1
        base=(base * base)%modulus
    return result

#Miller-Rabin primality test
def checkMillerRabin(n,k):
    if n==2: return True
    if n==1 or n%2==0: return False

    #find s and d, with d odd
    s=0
    d=n-1
    while(d%2==0):
        d/=2
        s+=1
    assert (2**s*d==n-1)

    #witness loop
    composite=1
    for i in xrange(k):
        a=random.randint(2,n-1)
        x=modular_pow(a,d,n)
        if x==1 or x==n-1: continue
        for j in xrange(s-1):
            composite=1
            x=modular_pow(x,2,n)
            if x==1: return False #is composite
            if x==n-1: 
                composite=0
                break
        if composite==1:
            return False        #is composite
    return True                 #is probably prime

def findPrimes(n):              #generate a list of primes, using the sieve of eratosthenes

    primes=(n+2)*[True]

    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if primes[i]==True:
            for j in range(i**2,n+1,i):
                primes[j]=False

    primes=[i for i in range(2,len(primes)-1) if primes[i]==True]
    return primes

def primeFactorization(n,primes):   #find the factors of a number

    factors=[]

    i=0
    while(n!=1):
        if(n%primes[i]==0):
            factors.append(primes[i])
            n/=primes[i]
        else:
            i+=1

    return factors

def phi(n,primes):
    #some useful properties
    if (checkMillerRabin(n,10)==True):      #fast prime check
        return n-1

    factors=primeFactorization(n,primes)    #prime factors
    distinctive_prime_factors=set(factors)  

    totient=n
    for f in distinctive_prime_factors:     #phi = n * sum (1 - 1/p), p is a distinctive prime factor
        totient*=(1-1.0/f);

    return totient

if __name__ == '__main__':


    s=0
    N=165975
    # N=430000
    primes=findPrimes(N)    #upper bound for the number of primes
    for i in xrange(1,N):
        s+=phi(i,primes)

    print "Sum =",s 

Comments

धन्यवाद कलंक एल्गोरिदम! यह एकमात्र ऐसा था जिसे मैं आसानी से समझ सकता था और सह-अपराध की गिनती की बलपूर्वक जाँच नहीं कर रहा था।

— उपयोगकर्ता