पेल समीकरण का मौलिक समाधान

Question

कुछ सकारात्मक पूर्णांक को देखते हुए जो कि एक वर्ग नहीं है, संबद्ध पेल समीकरण का मूल हल ज्ञात करें$n$$(x,y)$

$$x^2 - n\cdot y^2 = 1$$

विवरण

• मौलिक पूर्णांक की एक जोड़ी है उस समीकरण को संतुष्ट करता है जहां न्यूनतम और सकारात्मक है। (हमेशा तुच्छ समाधान होता है जिसे गिना नहीं जाता है।)$(x,y)$$x,y$$x$$(x,y)=(1,0)$
• आप मान सकते हैं कि एक वर्ग नहीं है।$n$

उदाहरण

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

प्रासंगिक OEIS अनुक्रम: A002350 A002349 A033313 A033317

Comments

आश्चर्य है कि पेल समीकरण के साथ अभी तक कोई चुनौती नहीं है, क्योंकि यह बहुत अच्छी तरह से ज्ञात मैंने सोचा है। कम से कम, मुझे प्रोजेक्ट यूलर चुनौतियों के साथ कभी-कभी इसका उपयोग करना याद है।

— केविन क्रूज़सेन

@Fatalize " आप मान सकते हैं कि एक वर्ग नहीं है।$n$ " शायद यह स्पष्ट हो जाएगा कि परीक्षण मामलों ने उन imho को छोड़ दिया, हालांकि।

— केविन क्रूज़सेन

@ केविनक्रूजसेन मैंने उस पर विचार किया, लेकिन मुझे लगा कि यह कुछ को छोड़ना अधिक भ्रामक होगा n। (btw मैं भी हैरान था, लेकिन मुझे सैंडबॉक्स में एक साल के लिए यह चुनौती मिली थी)

— दोष

संबंधित: projecteuler.net/problem=66

— steenbergh

Answer 1

पीट , 612 कोडल

मानक इनपुट से n लेता है । आउटपुट y तब x , स्पेस-अलग हो गया।

कोडेल आकार 1:

आसान देखने के लिए कोडेल आकार 4:

व्याख्या

की जाँच करें इस NPiet का पता लगाने , जो कार्यक्रम 99 की एक इनपुट मूल्य के लिए समाधान की गणना को दर्शाता है।

मुझे यकीन नहीं है कि क्या मैंने इस चुनौती से पहले पेल के समीकरण के बारे में कभी सुना होगा, इसलिए मुझे विकिपीडिया से निम्नलिखित में से सभी मिल गए; विशेष रूप से, तीन लेखों के ये भाग:

• पेल के समीकरण's निरंतर अंशों के माध्यम से मौलिक समाधान
• वर्गमूलों की गणना के तरीके ued निरंतर अंश विस्तार
• जारी अंश continued अनंत निरंतर अंशों और अभिसरण

असल में, हम क्या करते हैं:

1. $n$ मानक इनपुट से प्राप्त करें ।
2. खोजें $\lfloor\sqrt n\rfloor$ जब तक इसका वर्ग$n$से अधिक नहीं हो जाता है तब तक एक काउंटरबढ़ाकर, फिर इसे एक बारघटाएं। (यह पहला लूप है जिसे आप शीर्ष बाईं ओर ट्रेस में देख सकते हैं।)
3. की गणना के लिए कुछ चर सेट अप $x$ और $y$ के निरंतर अंश से $\sqrt n$ ।
4. जांचें कि क्या $x$ और $y$ अभी तक पेल के समीकरण को फिट करते हैं। यदि वे करते हैं, तो मानों का उत्पादन करें (यह नीचे की तरफ की 2/3 शाखा है) और फिर बाहर निकलें (बाईं ओर लाल ब्लॉक में दौड़कर)।
5. यदि नहीं, तो पुनरावृत्त रूपांतरों को अपडेट करें और चरण 4 पर वापस जाएं। (यह दाईं ओर चौड़ी लूप है, वापस नीचे की तरफ, और फिर से आगे की ओर बिल्कुल आधा नहीं।)

मुझे स्पष्ट रूप से पता नहीं है कि एक क्रूर-बल दृष्टिकोण कम होगा या नहीं, और मैं इसे आज़माने वाला नहीं हूँ! ठीक है, तो मैंने कोशिश की।

Answer 2

पीट , 184 कोडल

यह ब्रूट-फोर्स विकल्प है जो मैंने कहा ( मेरे अन्य उत्तर में ) जो मैं लिखना नहीं चाहता था। N = 13. के समाधान की गणना करने में 2 मिनट से अधिक समय लगता है । मैं वास्तव में इसे n = 29 पर आज़माना नहीं चाहता ... लेकिन यह हर n को 20 तक चेक करता है , इसलिए मुझे विश्वास है कि यह सही है।

अन्य उत्तर की तरह, यह मानक इनपुट से n लेता है और y तो x , स्पेस-सेपरेटेड y आउटपुट करता है ।

कोडेल आकार 1:

आसान देखने के लिए कोडेल आकार 4:

व्याख्या

यहाँ 5 के इनपुट मान के लिए NPiet ट्रेस है ।

यह बल बल का सबसे क्रूर है, $x$ और $y$ दोनों पर चलने वाला । अन्य समाधान से अधिक पुनरावृति सकता है $x$ और उसके बाद calculate $y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$ , लेकिन वेwimps हैं।

$x=2$ और $y=1$ से शुरू , यह जाँचता है कि क्या $x$ और $y$ ने समीकरण को अभी तक हल किया है। यदि इसके पास (दाईं ओर सबसे नीचे कांटा है), तो यह मानों को आउटपुट करता है और बाहर निकलता है।

यदि नहीं, तो यह बाईं ओर जारी है, जहां $y$ बढ़ा हुआ है और $x$ की तुलना में है । (फिर ज़िग-ज़ैग पथ का पालन करने के लिए कुछ दिशा-मोड़ है।)

यह आखिरी तुलना है, जहां मार्ग मध्य-बाएँ के चारों ओर विभाजित होता है। यदि वे समान हैं, तो $x$ बढ़ा हुआ है और $y$ 1 पर वापस सेट है। और हम जाँच करने के लिए वापस जाते हैं कि क्या यह अभी तक समाधान है।

मेरे पास अभी भी कुछ व्हाट्सएप उपलब्ध हैं, इसलिए हो सकता है कि मैं यह देखूं कि क्या मैं कार्यक्रम को बढ़ाए बिना उस वर्ग-मूल गणना को शामिल कर सकता हूं।

Comments

Haha के बारे में मैं इस बात से सहमत wimps के डी: कि वर्ग जड़ों का उपयोग

— flawr

Answer 3

ब्रेकीलॉग , 16 बाइट्स

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

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व्याख्या

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

Answer 4

परी / जीपी , 34 बाइट्स

PARI / जीपी लगभग एक अंतर्निहित इस बात के लिए है: quadunitदेता मौलिक इकाई की द्विघात क्षेत्र $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$, जहां$D$क्षेत्र काभेदभावहै। दूसरे शब्दों में,quadunit(4*n)पेल के समीकरण को हल करती है$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$। इसलिए मुझे वर्ग लेना होगा जब इसका आदर्श है$-1$।

मुझे नहीं पता कि यह किस एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है, लेकिन यह तब भी काम करता है जब $n$ वर्ग-मुक्त नहीं होता है।

जवाब के रूप में दिया जाता है x + y*w, जहां wअर्थ है $\sqrt{n}$ ।

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

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Answer 5

वोल्फ्राम लैंग्वेज (गणितज्ञ) , 46 बाइट्स

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

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Comments

क्या यह आश्वासन दिया जाता है कि यह हमेशा मौलिक समाधान ढूंढता है ?

— ग्रेग मार्टिन

@GregMartin हां, यह है। यह हमेशा पहला (न्यूनतम) समाधान ढूंढता है। इस स्थिति में यह हमेशा {1,0} लौटता है। यही कारण है कि हमें x> 1 को चुनना है और दूसरा (मौलिक) समाधान प्राप्त करना है

— J42161217

मैं चाहूंगा कि यह सच हो, लेकिन दस्तावेज़ीकरण में कुछ भी ऐसा नहीं लगता है कि संकेत मिलता है ....

— ग्रेग मार्टिन

@GregMartin मैंने कई बार इस फ़ंक्शन का उपयोग किया है और पहले से ही जानता था कि यह कैसे काम करता है। मेरी एकमात्र चिंता पहला समाधान छोड़ना था और इससे मुझे उन 5 अतिरिक्त बाइट्स का खर्च उठाना पड़ा। आप आसानी से एक कार्यक्रम लिख सकते हैं और इसका परीक्षण कर सकते हैं (केवल लाखों परिणामों की पुष्टि करने के लिए)

— J42161217

Answer 6

05AB1E , 17 16 14 बाइट्स

केविन क्रूज़सेन को एक बाइट धन्यवाद दिया ।
आउटपुट[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

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व्याख्या

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

Comments

और आपने मुझे फिर से हरा दिया .. एक 17 बटर भी था, लेकिन यह काम नहीं कर रहा था क्योंकि Ųदशमलव के साथ खराब है ..> <। वैसे भी, आप दोनों को निकाल सकते हैं ,और एक अनुगामी जोड़ सकते हैं ‚(नहीं, अल्पविराम के नहीं हैं। एक ही; पी) एक बाइट को बचाने के लिए।

— केविन क्रूज़सेन

@ केविनक्रूजसेन: धन्यवाद! हाँ, मैं भी Ųपहली बार देख रहा था कि यह उम्मीद के मुताबिक काम नहीं कर रहा था।

— एमिगा

Answer 7

जावा 8, 74 73 72 बाइट्स

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

-1 बाइट धन्यवाद @Arnauld ।
-1 बाइट @ ओलिवियरग्रेगायर के लिए धन्यवाद ।

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स्पष्टीकरण:

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

Comments

72 बाइट्स , बदलकर nएक करने के लिए double, और xएक के लिए int, तथ्य यह है कि पर खेल x*x-1के बराबर है (-x-1)*(-x+1)।

— ओलिवियर ग्रेगोइरे

ठीक है, मैं वास्तव में इस तथ्य पर खेल रहा हूं जो पूरी तरह से सही होने के (x+1)*(x+1)-1बराबर है -x*-(x+2)।

— ओलिवियर ग्रेगोइरे

Answer 8

आर, 66 56 54 53 52 47 45 बाइट्स

एक पूर्ण कार्यक्रम

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

-1 -2 शुक्रिया @Giuseppe के लिए

-7 धन्यवाद @Giuseppe & @Robin Ryder -2 @JAD

Comments

के .5बजाय का उपयोग करें0.5

— Giuseppe

46 बाइट्स । का सबसे छोटा मान खोजना सबसे छोटा मान xखोजने के बराबर है y। यह आपको 2 बाइट्स को बचाने की अनुमति देता है, क्योंकि xइसके संदर्भ में व्यक्त yकरना अन्य तरीकों से कम है, और 4 बाइट्स का उपयोग करके ट्रिक का उपयोग Tकिया जाता है, जो 1. 1 पर आरंभीकृत है।

— रोबिन राइडर

@RobinRyder आपको +Tयह सुनिश्चित करने के लिए अंत में आवश्यकता हो सकती है कि जब y==1वह 1बदले बदले TRUEलेकिन मैं पूरी तरह से निश्चित नहीं हूं।

— Giuseppe

@Giuseppe अच्छी तरह से देखा! तुम सही हो। यह 47 बाइट्स

— रॉबिन राइडर

बड़ी संख्या के मुद्दों के कारण n = 61 (मूर्खतापूर्ण बड़े परीक्षण मामले) पर विफल होने लगता है। मुझे लगता है कि भाषा की सीमाओं के लिए अनुमति देना ठीक है, सिर्फ अपवाद नहीं।

— क्रिमिनल

Answer 9

जेली , 40 बाइट्स

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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एक वैकल्पिक जेली उत्तर, कम गोल्फ वाला लेकिन अधिक कुशल एल्गोरिदम जब x और y बड़े होते हैं। यह नियमित रूप से जारी अंश के अभिसरण पाता है जो n के वर्गमूल को अनुमानित करता है, और फिर जाँचता है जो पेल समीकरण को हल करता है। अब नियमित रूप से जारी अंश की अवधि को सही ढंग से पाता है।

@TimPederick के लिए धन्यवाद, मैंने एक पूर्णांक आधारित समाधान भी लागू किया है जिसे किसी भी संख्या को संभालना चाहिए:

जेली , 68 बाइट्स

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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उदाहरण के लिए, 1234567890 के समाधान में क्रमशः अंश और हर के लिए 1936 और 1932 अंक हैं।

Comments

अच्छा! मैंने अपने जवाब में वही तरीका अपनाया। मैं जेली नहीं पढ़ता, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि आपको 61 की समस्याएं क्यों हैं। क्या आप प्रत्येक अभिसरण को पूर्णांक (अंश और हर) की जोड़ी के रूप में संग्रहीत कर रहे हैं?

— टिम पेडरिक

@TimPederick हाँ। निश्चित नहीं है कि यह मुद्दा कहां से उठता है

— निक केनेडी

मैंने यह सीखने की कोशिश की कि यह कैसे काम करता है इसलिए मैं इसे डिबग करने में मदद कर सकता हूं, लेकिन मैं बस इसके चारों ओर अपना सिर नहीं लपेट सकता! केवल एक चीज जो मैं सुझा सकता हूं, वह किसी भी फ़्लोट्स की मंजिल ले रही है, क्योंकि (यदि यह मेरा समान एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है ) तो सभी मध्यवर्ती मान वैसे भी पूर्णांक के रूप में सामने आने चाहिए।

— टिम पेडरिक

@TimPederick यह फ्लोटिंग पॉइंट अशुद्धि थी। अब मैंने इसे अवधि तक पहुंचने के बाद निरंतर अंश की निरंतरता की तलाश में रोक दिया है। यह 150 तक काम करता है, लेकिन ऊपर मुझे लगता है कि मैं फिर से फ्लोटिंग पॉइंट सटीकता त्रुटियों में भाग लेता हूं जैसे कि 151

— निक केनेडी

@TimPederick यह भी समस्याग्रस्त है कि पूर्णांक अंकगणित के साथ किया जाता है, नहीं समसामयिक अंश की पीढ़ी है।

— निक केनेडी

Answer 10

जावास्क्रिप्ट (ईएस 7), 47 बाइट्स

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

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नीचे एक वैकल्पिक 49-बाइट संस्करण है जो ट्रैक रखता है$x²-1$$x$

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

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या हम 50 बाइट्स के लिए गैर-पुनरावर्ती तरीके से जा सकते हैं :

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

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Answer 11

टीआई-बेसिक,  44  42 41 बाइट्स

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

$n$
$(x,y)$

समीकरण उपयोग करता है$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$$x\ge2$
$(x,y)$$y\bmod1=0$

उदाहरण:

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

स्पष्टीकरण:

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

---

नोट: TI-BASIC एक टोकन भाषा है। कैरेक्टर काउंट बाइट काउंट नहीं के बराबर होता है ।

Answer 12

MATL , 17 बाइट्स

`@:Ut!G*-!1=&fts~

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

व्याख्या

कोड एक काउंटर बढ़ती रहती है कश्मीर = 1, 2, 3, ... प्रत्येक के लिए कश्मीर , समाधान x , y 1 ≤ साथ एक्स ≤ कश्मीर , 1 ≤ y ≤ कश्मीर की खोज कर रहे हैं। कुछ मिलने पर हल करती है प्रक्रिया।

यह प्रक्रिया केवल एक समाधान खोजने की गारंटी है, जो कि मौलिक रूप से ठीक है। क्यों, यह देखने के लिए

1. किसी भी समाधान x > 0, y > 0 के लिए n > 1 संतुष्ट x > y ।
2. यदि एक्स , वाई एक समाधान और है एक्स ', y ' एक अलग समाधान तो जरूरी है x ≠ एक्स ' और y ≠ y '।

1 और 2 के परिणाम के रूप में,

• जब किसी दिए गए k पर प्रक्रिया बंद हो जाती है, तो उस k के लिए केवल एक समाधान मौजूद होता है , क्योंकि यदि दो समाधान होते हैं, तो उनमें से एक पहले मिल जाएगा, और प्रक्रिया एक छोटे k के साथ बंद हो जाएगी ।
• यह समाधान मौलिक एक है, क्योंकि, फिर से, अगर छोटे x के साथ कोई समाधान होता तो यह पहले मिल जाता।

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

Answer 13

पायथन 2 , 49 बाइट्स

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

ढूँढता है x1 जहां ऊपर सबसे छोटी संख्या के रूप में x % sqrt(n) <= 1/x। फिर, के रूप में yसे पाता है ।xy = floor(x / sqrt(n))

Answer 14

हास्केल , 46 बाइट्स

$(x,y)$$x^2 - ny^2 = 1$$y \leq x$

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

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Comments

ऐसा लगता है जैसे आप को बदलने की जरूरत nके लिए xमें y<-[1..n]तो आप गणना कर सकता है f 13।

— क्रिश्चियन सेवर्स

@ChristianSievers इसे इंगित करने के लिए धन्यवाद, मैंने इसे सही किया!

— दोष जूल

Answer 15

सी # (विजुअल सी # इंटरएक्टिव कंपाइलर), 70 69 बाइट्स

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

मेरे जावा 8 उत्तर का पोर्ट , लेकिन बाइट्स को बचाने के लिए एक स्ट्रिंग के बजाय एक ट्यूपल को आउटपुट करता है।

इसे ऑनलाइन आज़माएं।

Answer 16

जेली , 15 बाइट्स

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

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एक पूर्ण कार्यक्रम जो एकल तर्क लेता है nऔर टपल देता है x, y।

Answer 17

भूसी , 12 बाइट्स

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

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व्याख्या

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

Answer 18

मठगोल्फ , 12 बाइट्स

ökî²*)_°▼Þ√î

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

जब यह आउटपुट स्वरूपण की बात आती है तो मैं एक हेल मैरी फेंक रहा हूं। यदि इसकी अनुमति नहीं है, तो मेरे पास एक समाधान है जो 1 बाइट लंबा है। आउटपुट स्वरूप है x.0y, जहां.0 दो संख्याओं के बीच विभाजक है।

व्याख्या

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

मैंने एमिग्ना के 05AB1E उत्तर से कुछ प्रेरणा ली, लेकिन कुछ सुधार खोजने में सक्षम था। यदि मेरे द्वारा चुने गए विभाजक को अनुमति नहीं है, तो अंतिम बाइट से पहले एक जगह जोड़ें जो 13 की बाइट गिनती के लिए है।

Answer 19

एपीएल (एनएआरएस), 906 बाइट्स

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

ऊपर 2 फ़ंक्शन हैं sqrti फ़ंक्शन जो फ़्लोर स्क्वायर रूट और पेल फ़ंक्शन को खोजेगा, त्रुटि के लिए Zilde लौटेगा, और पृष्ठ http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html पढ़ रहा है यह पता करने के लिए एल्गो का उपयोग करेगा संख्या ट्रू का वर्गार्ट अंश जारी रहता है (भले ही मैं न्यूटन विधि का उपयोग कर पता करने के लिए एक एल्गो का उपयोग करता हूं) और पी और क्यू को खोजने पर रोकें जैसे कि

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

परीक्षा:

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

चक्र फ़ंक्शन में लूप में चक्रों के लिए एक सीमा होती है, और पेल फ़ंक्शन में लूप के लिए साइकिलों की एक सीमा होती है, दोनों संभावित केस संख्या के लिए बहुत अधिक बड़े होते हैं या अलग नहीं होते हैं। हर संभव इनपुट और उसी पेल फ़ंक्शन को भी मिलाएं)

Answer 20

ग्रूवी , 53 बाइट्स

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

पोर्ट केविन क्रूज़सेन के जावा और सी # उत्तर

Answer 21

अजगर, 15 बाइट्स

fsIJ@ct*TTQ2 2J

इसे यहाँ ऑनलाइन आज़माएँ । आउटपुट को xफिर yएक नई रेखा से अलग किया जाता है।

Answer 22

वोल्फ्राम लैंग्वेज (मैथमेटिका) , 41 बाइट्स

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√3-बाइट यूनिकोड वर्ण # 221A है। (X, y) के बजाय ऑर्डर (y, x) में समाधान को आउटपुट करता है। हमेशा की तरह खामियों //.और इसके सीमित पुनरावृत्तियों के साथ, केवल उन इनपुट पर काम करता है जहां का सही मूल्य हैy सबसे अधिक 65538 है।

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

Answer 23

> <> , 45 बाइट्स

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

जानवर बल एल्गोरिथ्म, x=2ऊपर से खोज , साथ y=x-1और प्रत्येक लूप पर decrementing, incrementing xजब yतक पहुँचता है 0. आउटपुट xद्वारा पीछा किया जाता है y, एक नई रेखा द्वारा अलग किया जाता है।

Answer 24

सी # (विजुअल सी # इंटरएक्टिव कंपाइलर) , 69 बाइट्स

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

Answer 25

पायथन 3 , 75 बाइट्स

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

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व्याख्या

$$x<i^i$$ $$x\leq i!$$

यह कोड पाइथन 2 में भी चलेगा। हालाँकि, पाइथन 2 में रेंज () फंक्शन पायथन 3 की तरह एक जनरेटर के बजाय एक सूची बनाता है और इस प्रकार बेहद अक्षम है।

---

Inifinte समय और स्मृति के साथ, कोई पुनरावृति के बजाय सूची बोध का उपयोग कर सकता है और इस तरह 3 बाइट्स बचा सकता है:

पायथन 3 , 72 बाइट्स

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

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Answer 26

पायथन 2 , 64 बाइट्स

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

लौटता है (x, y)।