लंबाई के मोबीस सीढ़ी पर प्रतिबंधित वनों की संख्या की गणना

Question

OEIS अनुक्रम A020872 Möbius सीढ़ी M _n पर प्रतिबंधित वनों की संख्या की गणना करता है ।

चुनौती

चुनौती एक प्रोग्राम लिखना है जो एक पूर्णांक को इनपुट के रूप में लेता है n > 1और रिटर्न करता है A020872(n), मोबीस सीढ़ी एम _एन पर प्रतिबंधित जंगलों की संख्या । यह कोड-गोल्फ है , इसलिए सबसे छोटा कोड जीतता है। (एक उल्टा मकसद शायद इस क्रम की लंबाई को थोड़ा बढ़ाना है।)

परिभाषाएं

एक प्रतिबंधित वन ग्राफ़ का एक विभाजन है जैसे कि प्रत्येक भाग एक (अप्रत्यक्ष) पथ या एक पृथक शीर्ष है।

मॉबियस सीढ़ी एम _एन एक ग्राफ जो 2n-gon सभी विपरीत कोने के बीच तैयार की विकर्णों के साथ के बारे में सोचा जा सकता है।

उदाहरण

यहाँ M ₂ पर 34 प्रतिबंधित वन हैं (विकर्णों वाला एक वर्ग)। ध्यान दें कि पहले ग्राफ को चार अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया गया है, दूसरे को एक पथ में विभाजित किया गया है और दो अलग-अलग कोने, आदि।

Comments

टेस्ट केस 2 से 12 34, 241, 1582, 10204, 65197, 415076, 2638366, 16759249, 106427154, 675771276, 4290678337:। मुझे यकीन नहीं है कि 1आउटपुट के साथ इनपुट की भी आवश्यकता क्यों नहीं है 2।

— पीटर टेलर

@PeterTaylor, उन शब्दों को OEIS में जोड़ने के लिए धन्यवाद! मैंने इनपुट को बाहर कर दिया 1क्योंकि M_1 विकिपीडिया लेख में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। (विशेष रूप से, या तो इसके कई किनारे हैं या यह एक घन ग्राफ नहीं है।)

— पीटर केजी

यह वास्तव में एक के लिए एक अच्छे उम्मीदवार की तरह लगता है fastest-codeया fastest-algorithmचुनौती।

— मैपरेलियन

आगे के परीक्षण के मामले ( पीढ़ी कोड ): 13 से 17 हैं27242281044, 172964658642, 1098170541121, 6972388689086, 44268329738124

— पीटर टेलर

सही है, मुझे लगता है कि आपका उल्टा मकसद संतुष्ट से ज्यादा है।

— पीटर टेलर

Answer 1

सीजाम ( 58 56 वर्ण)

कुछ अक्षर अनपेक्षित हैं, और एक टैब है जिसे StackExchange सॉफ़्टवेयर द्वारा मंगवाया जाएगा:

"¶3¬î¿Á·    7ÛÈmÈÚÚ¡"256b454b212f-{__W%.*A<1b+}qi*-4=

ऑनलाइन डेमो । यह लगभग तीन सेकंड में n = 400 के लिए ऑनलाइन चलेगा।

इनकोडिंग xxd:

0000000: 22b6 0233 93ac eebf c1b7 0609 3794 dbc8  "..3........7...
0000010: 6dc8 1015 dada a122 3235 3662 3435 3462  m......"256b454b
0000020: 3231 3266 2d7b 5f5f 5725 2e2a 413c 3162  212f-{__W%.*A<1b
0000030: 2b7d 7169 2a2d 343d                      +}qi*-4=

व्याख्या

मोबीस सीढ़ी मूल रूप से दो अतिरिक्त किनारों वाली सीढ़ी है। एक सीढ़ी पर एक प्रतिबंधित जंगल को देखते हुए, इसे मोबियस सीढ़ी पर 1 से 4 प्रतिबंधित जंगलों के बीच उठाया जा सकता है। किनारों को प्रदान किया जा सकता है, जो डिग्री 3 या एक चक्र का शीर्ष नहीं बनाता है। चार कोनों की डिग्री और उनके अंतर्संबंध, सीढ़ी पर प्रतिबंधित वन के 116 वर्ग बनाते हैं, हालांकि उनमें से कुछ आयत के समरूपता के कारण समान हैं। मैंने लंबाई n + 1 में से किसी एक के लिए लंबाई की सीढ़ी के विस्तार का विश्लेषण करने के लिए एक कार्यक्रम लिखा था, और फिर कक्षाओं को 26 समकक्ष कक्षाओं में विलय कर दिया। यह एक बंद रूप देता है

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{n-2} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} +$$

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}^{n-2} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} +$$

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 4\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix}^{n-2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}$$

इसलिए तीन रेखीय पुनरावृत्तियां लेकर और फिर उन्हें जोड़कर मूल्यों की तेजी से गणना की जा सकती है, लेकिन यह बहुत ही गंभीर नहीं है।

हालाँकि, यदि हम विभिन्न चारित्रिक बहुपद के अपरिमेय कारक लेते हैं और प्रत्येक को एक से गुणा करते हैं (गुणन को अनदेखा करते हुए) तो हमें 10 डिग्री का बहुपद मिलता है जो एक कार्यशील एकल रेखीय पुनरावृत्ति देता है।

रचनात्मक दृष्टिकोण (58 वर्ण)

qi:Q2*,Wa*e!{Wa/{_W%e<}%$}%_&{{,1>},2few:~{:-z(Q(%}%0-!},,

ऑनलाइन डेमो । यह n=2समस्याओं के बिना और n=3थोड़े धैर्य के साथ ऑनलाइन चलेगा । इसके लिए n=1क्रैश हो जाता है, लेकिन चूंकि ओपी ने उस मामले को आवश्यकताओं से बाहर करने के लिए चुना है, इसलिए यह मौलिक समस्या नहीं है।

विच्छेदन

qi:Q          e# Take input from stdin, parse to int, store in Q
2*,Wa*e!      e# Take all permutations of (0, -1, 1, -1, 2, -1, ..., -1, 2*Q-1)
{             e# Map to canonical form...
  Wa/         e#   Split around the -1s
  {_W%e<}%    e#   Reverse paths where necessary to get a canonical form
  $           e#   Sort paths
}%
_&            e# Filter to distinct path sets
{             e# Filter to path sets with valid paths:
  {,1>},      e#   Ignore paths with fewer than two elements (can't be invalid; break 2ew)
  2few:~      e#   Break paths into their edges
  {:-z(Q(%}%  e#   The difference between the endpoints of an edge should be +/-1 or Q (mod 2Q)
              e#   So their absolute values should be 1, Q, 2Q-1.
              e#   d => (abs(d)-1) % (Q-1) maps those differences, and no other possible ones, to 0
              e#   NB {:-zQ(%}% to map them all to 1 would save a byte, but wouldn't work for Q=2
  0-!         e#   Test that all values obtained are 0
},
,             e# Count the filtered distinct path sets

---

एक अधिक कुशल संस्करण 98 बाइट्स लेता है:

qi2*:Q{a{__0=[1Q2/Q(]f+Qf%_&1$-\f{+E}~}:E~}/]{_W%>!},:MW=0{_{M\f{__3$_@&@:e<@|^{=}{^j}?}1b}{,)}?}j

ऑनलाइन डेमो

यह गहराई-पहले खोज के द्वारा संभावित रास्तों का निर्माण करता है, फिर एक संस्मरणित फ़ंक्शन का उपयोग करता है जो किसी दिए गए सेट के लिए संभव प्रतिबंधित जंगलों की गणना करता है। फ़ंक्शन इस आधार पर पुनरावर्ती रूप से कार्य करता है कि किसी दिए गए गैर-खाली सेट के लिए किसी भी प्रतिबंधित वन में एक पथ होता है जिसमें सबसे छोटा शीर्ष और एक प्रतिबंधित फ़ॉरेस्ट होता है जो उस पथ में नहीं है।

Comments

ग्रिड ग्राफ पर, इसे एक रेखीय पुनर्संरचना के साथ वर्णित किया जा सकता है, इसलिए यह मुझे आश्चर्यचकित नहीं करेगा कि यह पता लगाना अच्छा है।

— पीटर कैगी

Answer 2

जावास्क्रिप्ट (ईएस 6),  160 158  146 बाइट्स

n=>(g=(e,v,p)=>[...Array(N=2*n),N-1,1,n].reduce((s,x,i)=>(m=1<<(x=i<N?i:(p+x)%N))&v?s:s+g((i>=N)/p?[...e,1<<p|m]:e,v|m,x),g[e.sort()]^(g[e]=1)))``

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

टिप्पणियाँ:

• $n>4$
• $a(5) = 10204$

टिप्पणी की गई

n => (                        // n = input
  g = (                       // g = recursive function taking:
    e,                        //   e[] = array holding visited edges
    v,                        //   v   = bitmask holding visited vertices
    p                         //   p   = previous vertex
  ) =>                        // we iterate over an array of N + 3 entries, where N = 2n:
    [ ...Array(N = 2 * n),    //   - 0...N-1: each vertex of the N-gon (starting points)
      N - 1,                  //   - N      : previous vertex \
      1,                      //   - N+1    : next vertex      }-- connected to p
      n                       //   - N+2    : opposite vertex /
    ].reduce((s, x, i) =>     // reduce() loop with s = accumulator, x = vertex, i = index:
      ( m = 1 << (            //   m is a bitmask where only the x-th bit is set
          x = i < N           //   and x is either:
              ? i             //   - i if i < N
              : (p + x) % N   //   - or (p + x) mod N otherwise
      )) & v ?                //   if this vertex was already visited:
        s                     //     leave s unchanged
      :                       //   else:
        s +                   //     add to s
        g(                    //     the result of a recursive call:
          (i >= N) / p ?      //       if p and x are connected (i >= N and p is defined):
            [ ...e,           //         append to e[]:
              1 << p | m      //           the edge formed by p and x
            ]                 //           and uniquely identified by 1 << p | 1 << x
          :                   //       else:
            e,                //         leave e[] unchanged
          v | m,              //       mark the vertex x as visited
          x                   //       previous vertex = x
        ),                    //     end of recursive call
      g[e.sort()] ^           //   sort the edges and yield 1 if this list of edges has not
      (g[e] = 1)              //   already been encountered; either way, save it in g
    )                         // end of reduce()
)``                           // initial call to g with e = ['']

Answer 3

जेली , 61 58 बाइट्स

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Ḥ©Ḷµ1ị+¢%®ḟ€;€€1¦-Ẏ;€)Ẏ$ƬẎṣ€-Ẉ’ẠƊƇU¹Ø.ị>/Ɗ?€€Ṣ€QL‘

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

यह छोटा संस्करण है; यह छोटी लंबाई बनाम एल्गोरिथम जटिलता और गति के लिए अनुकूलित है।

जेली , 85 बाइट्स

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Ḥ©Ḷ;€-Ç€Ẏ$ƬẎṣ€-Ẉ=1ẸƊÐḟU¹1ị>0ị$Ʋ?€€Ṣ€QL‘+=2$

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

यहां एक लंबा संस्करण है, जो निरर्थक रास्तों की कोशिश करने से बचने के लिए अतिरिक्त कोड जोड़ता है। अंत में n = 2 के लिए चेक n = 2 के लिए विशिष्ट मामले से निपटने के लिए है जो उदाहरण में लाल / नीले क्रॉस की तरह दिखता है और इस कोड द्वारा उत्पन्न नहीं होता है। इस दूसरे संस्करण ने TIO पर 13 सेकंड से भी कम समय में n = 4 को पूरा किया, लेकिन उच्च संख्या के लिए कई बार।