त्रिकोण खोने के बिना एक त्रिकोणीय सरणी से अंक निकालना

Question

मुझे एक कॉम्बिनेटरिक्स समस्या है जिसे मैं OEIS पर रखना चाहूंगा — समस्या यह है कि मेरे पास पर्याप्त शर्तें नहीं हैं। यह कोड चुनौती है मुझे अधिक शब्दों की गणना करने में मदद करने के लिए, और विजेता उपयोगकर्ता को सबसे बड़ी संख्या वाले सबमिशन के साथ होगा।

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समस्या

मान लीजिए कि मैं आपको साइड लंबाई $n$ साथ प्रकाश बल्बों का त्रिकोणीय सरणी देता हूं :

     o
    o o
   o o o
  o o o o
 o o o o o
o o o o o o
1 2  ...  n

मैं तीन लाइटबल्बों को चालू करने जा रहा हूं जो निम्न उदाहरण में "ईमानदार" समबाहु त्रिभुज बनाते हैं:

     o
    o x
   o o o
  o o o o
 o x o o x
o o o o o o

इससे पहले कि मैं लाइटों को चालू करूं, आपका काम है कि सरणी से जितना संभव हो सके उतने लाइटबल्ब को हटा दिया जाए - बिना चालू किए बल्बों के त्रिकोण को कम करने की क्षमता खोना। स्पष्ट होने के लिए, यदि एक लाइटबल्ब हटा दिया गया है, तो इसकी स्थिति चालू होने पर इसे जलाया नहीं जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि आपने निम्नलिखित बल्बों को हटा दिया (द्वारा चिह्नित .) तो आप केवल निम्नलिखित दो लाइटों को चालू (चिह्नित करके x) देखेंगे , जो कि विशिष्ट रूप से तीसरी (अनलिमिटेड) स्थिति को घटाती है:

     .              .
    . o            . x
   . . o          . . o
  o o o .   =>   o o o .
 o o o o .      o x o o . <- the third unlit position
o . . . o o    o . . . o o

आज्ञा देना a(n)अधिकतम संख्या में बल्ब हैं जिन्हें बिना किसी अस्पष्टता के परिचय के हटाया जा सकता है।

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उदाहरण

एक भोली एल्गोरिथ्म के साथ, मैंने साइड त्रिकोण 7 के साथ एक त्रिकोण तक मानों की जाँच की है, जैसा कि नीचे देखा गया है:

                                                                      .
                                                      .              . o
                                        .            . o            o . o
                           .           . .          . . o          . o o .
              .           . .         . o o        o o o .        o o . o .
 .           . .         . o o       o o . o      o o o o .      o . o . o o
. .         . o o       . o o o     o . . o o    o . . . o o    o . o . o o o

a(2) = 3    a(3) = 4    a(4) = 5    a(5) = 7     a(6) = 9       a(7) = 11

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स्कोरिंग

सबमिशन जो [a(2), a(3), ..., a(n)]सबसे बड़े n जीत के लिए अनुक्रम की गणना करता है । यदि दो सबमिशन में समान सीक्वेंस होते हैं, तो वह जो पहले पोस्ट किया गया था वह जीत जाता है।

हालांकि प्रस्तुत करने के लिए आवश्यक नहीं है, यह मेरे लिए शिक्षाप्रद होगा यदि आप परिणामस्वरूप त्रिकोणीय सरणियों का निर्माण पोस्ट करते हैं, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है।

Comments

क्या यह सबसे तेज़ कोड के बजाय एक कोड-चुनौती नहीं है?

— डॉन थाउजेंड

मुझे लगता है कि आपको एक समय सीमा (जैसे 60 के दशक) कहना चाहिए, इसलिए प्रतियोगिता इस बारे में नहीं है कि किसी ने अपना कोड चलाने में कितना समय लगाया।

— dylnan

अच्छी समस्या है। "ईमानदार" त्रिभुज से आपका क्या तात्पर्य है?

— डेमियन

Answer 1

पायथन 3 ,n=8

import itertools
from ortools.sat.python import cp_model


def solve(n):
    model = cp_model.CpModel()
    solver = cp_model.CpSolver()
    cells = {
        (y, x): model.NewBoolVar(str((y, x)))
        for y in range(n) for x in range(y + 1)}
    triangles = [
            {cells[v] for v in ((y1, x1), (y2, x1), (y2, x1 + y2 - y1))}
            for (y1, x1) in cells.keys() for y2 in range(y1 + 1, n)]
    for t1, t2 in itertools.combinations(triangles, 2):
        model.AddBoolOr(t1.symmetric_difference(t2))
    model.Minimize(sum(cells.values()))
    solver.Solve(model)
    return len(cells) - round(solver.ObjectiveValue())


for n in itertools.count(2):
    print('a(%d) = %d' % (n, solve(n)))

Google OR-Tools 'CP-SAT सॉल्वर का उपयोग करता है ।

~ 30 सेकंड के लिए चलने के बाद, यह निम्नलिखित आउटपुट करता है:

a(2) = 3
a(3) = 4
a(4) = 5
a(5) = 7
a(6) = 9
a(7) = 11
a(8) = 13

n=9$n^6$a(9)=15n=8

यह काम किस प्रकार करता है

$T_1$$T_2$$T_1$$T_2$

इस प्रकार यह प्रश्न एक SAT समस्या के रूप में प्रतिरूपित हो सकता है, जिसमें प्रत्येक जोड़ी के लिए एक बाधा हो सकती है।

पुनश्च: मैं बहुत के लिए एक उदाहरण को शामिल करना चाहूंगा n=8, लेकिन मैं सैट सॉल्वर के साथ समस्या कर रहा हूं जो स्पष्ट रूप से सभी समाधानों को अपने पास रखना चाहता है।

Comments

मैं मैथमेटिका के समाधान को पोर्ट करने का निर्णय लेता हूं , जो दुर्भाग्य से धीमा है।

— user202729

Answer 2

@ Delfad0r के कार्यक्रम से समाधान प्राप्त करना

मैंने आउटपुट समाधान के लिए @ Delfad0r का कार्यक्रम बढ़ाया। यह मध्यवर्ती परिणाम भी देता है, इसलिए आपको इस तरह से आउटपुट मिलता है:

Solving n = 8:
a(8) >= 9
a(8) >= 10
a(8) >= 11
a(8) >= 12
a(8) >= 13
       o
      . o
     . o o
    . o o .
   o o . o o
  o o o o . .
 o . . o o o .
o . . o . o o o
a(8) = 13

Solving n = 9:
a(9) >= 10
a(9) >= 13
a(9) >= 14
a(9) >= 15
        o
       o o
      o . .
     o . o o
    . o . o o
   . o o o o o
  o o o . o . .
 o o o . . . o o
. o o o o o o . .
a(9) = 15

इस गणना में कई घंटे लग गए।

यदि आप अधीर हो जाते हैं और Ctrl-Cकुछ गैर-इष्टतम समाधान पाए जाने के बाद दबाते हैं, तो कार्यक्रम उस समाधान को दिखाएगा। इसलिए इसे पाने में देर नहीं लगती:

                   .
                  o o
                 . o o
                . o o o
               o o . o o
              o . o o o .
             o . o . o o o
            . o o o o o . o
           o . . o o o o o o
          o o o o o o o o o .
         o o . o o o o . o o o
        o o o o o o . o . o o o
       o . o o . o o o o o o o o
      o o o . o o o o o . o o o o
     o o o . o o o o o o o o . . o
    o o o o o o o o o o o . o . . o
   o o o o . o o o o . o o o o o . o
  o o o o o o o o . o o . . o o o o .
 o o o o . o o . o . o o o o o o . o o
o o . o o . o o o o . o o o . o o o o o
a(20) >= 42

यहाँ विस्तारित कार्यक्रम है:

import itertools
from ortools.sat.python import cp_model

class ReportPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):

    def __init__(self, n, total):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self.__n = n
        self.__total = total

    def on_solution_callback(self):
        print('a(%d) >= %d' %
              (self.__n, self.__total-self.ObjectiveValue()) )

def solve(n):
    model = cp_model.CpModel()
    solver = cp_model.CpSolver()
    cells = {
        (y, x): model.NewBoolVar(str((y, x)))
        for y in range(n) for x in range(y + 1)}
    triangles = [
            {cells[v] for v in ((y1, x1), (y2, x1), (y2, x1 + y2 - y1))}
            for (y1, x1) in cells.keys() for y2 in range(y1 + 1, n)]
    for t1, t2 in itertools.combinations(triangles, 2):
        model.AddBoolOr(t1.symmetric_difference(t2))
    model.Minimize(sum(cells.values()))
    print('Solving n = %d:' % n)
    status = solver.SolveWithSolutionCallback(model, ReportPrinter(n,len(cells)))
    if status == cp_model.OPTIMAL:
        rel = '='
    elif status == cp_model.FEASIBLE:
        rel = '>='
    else:
        print('No result for a(%d)\n' % n)
        return
    for y in range(n):
        print(' '*(n-y-1), end='')
        for x in range(y+1):
            print('.o'[solver.Value(cells[(y,x)])],end=' ')
        print()
    print('a(%d) %s %d' % (n, rel, len(cells) - solver.ObjectiveValue()))
    print()

for n in itertools.count(2):
    solve(n)

Answer 3

अजगर ३

Delfad0r के उत्तर पर दृढ़ता से आधारित , अधिकतर त्रिकोण युग्मों की जाँच करके और यदि यह मान्यकरण विफल करने वाले त्रिकोण जोड़े नहीं हैं, तो कॉन्फ़िगरेशन को मान्य करके समान तर्क प्रगति का अनुसरण करता है। चूंकि मैंने इटर्स्टूल और कॉपी के अलावा किसी भी लाइब्रेरी का उपयोग नहीं किया है, इसलिए पूरे कार्यक्रम में सामने आए उदाहरणों को सहेजने पर मेरा पूरा नियंत्रण है।

examples = dict() # stores examples by key pair of n to a tuple with the triangle and number of lights turned off

for n in range(3, 8):
    tri = [] # model of the triangle, to be filled with booleans representing lights
    tri_points = [] # list of tuples representing points of the triangle
    for i in range(n):
        tri.append([True]*(i + 1))
        for j in range(i+1):
            tri_points.append((i, j))

    t_set = [] # list of all possible triangles from tri, represented by lists of points
    for i in range(n):
        for j in range(len(tri[i])):
            for k in range(1, n - i):
                t_set.append([(i, j), (i + k, j), (i + k, j + k)])

    from itertools import combinations
    import copy

    # validates whether or not a triangle of n lights can have i lights turned off, and saves an example to examples if validated
    def tri_validate(x):
        candidate_list = list(combinations(tri_points, x))
        tri_pairs = list(combinations(t_set, 2))
        for candidate in candidate_list:
            temp_tri = copy.deepcopy(tri)
            valid = False
            for point in candidate:
                (row, col) = point
                temp_tri[row][col] = False
            for pair in tri_pairs:
                valid = False
                (tri1, tri2) = pair
                for point in tri1:
                    if not valid:
                        if point not in tri2:
                            (row, col) = point
                            if temp_tri[row][col]:
                                valid = True
                for point in tri2:
                    if not valid:
                        if point not in tri1:
                            (row, col) = point
                            if temp_tri[row][col]:
                                valid = True
                if not valid:
                    break
            if valid:
                examples[n] = (temp_tri, x)
                return True
        return False

    # iterates up to the point that validation fails, then moves on to the next n
    for i in range(len(tri_points)):
        if tri_validate(i + 1):
            continue
        break

समस्या यह है, यह बहुत कुशल नहीं है। यह वास्तव में तेजी से चलता है n=5, लेकिन उस बिंदु से पिछले काफी धीमा करना शुरू कर देता है। पर n=6, इसे चलाने में लगभग एक मिनट लगता है, और यह बहुत धीमा है n=7। मुझे लगता है कि इस कार्यक्रम के साथ बहुत सारे दक्षता सुधार किए जा सकते हैं, लेकिन इस पद्धति के आंतरिक कामकाज की जांच करने के लिए बहुत अधिक लचीलेपन के साथ एक अच्छे समाधान का यह जल्दी से बना हुआ मोटा मसौदा है। मैं समय के साथ इस पर काम करूंगा।