(A → B) → (¬B → →A)

Question

वैसे मुझे लगता है कि यह समय है जब हमारे पास एक और सबूत-गोल्फ सवाल होगा।

इस बार हम जाने-माने तार्किक सत्य साबित करने जा रहे हैं

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

ऐसा करने के लिए हम asukasiewicz की तीसरी Axiom स्कीमा का उपयोग करेंगे , जो तीन स्वयंसिद्धों का एक अविश्वसनीय रूप से सुरुचिपूर्ण सेट है जो प्रस्ताव तर्क पर पूरा होता है ।

यहाँ दिया गया है कि यह कैसे काम करता है:

अभिगृहीत

Iukasiewicz प्रणाली में तीन स्वयंसिद्ध हैं। वो हैं:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

सूक्तियों परवाह किए बिना क्या हम के लिए चयन के सार्वभौमिक सत्य हैं $\phi$ , $\psi$ और $\chi$ । प्रमाण के किसी भी बिंदु पर हम इनमें से किसी एक स्वयंसिद्ध का परिचय दे सकते हैं। जब हम एक स्वयंसिद्ध परिचय आप में से प्रत्येक मामले की जगह $\phi$ , $\psi$ और $\chi$ एक "जटिल अभिव्यक्ति" के साथ,। एक जटिल अभिव्यक्ति किसी भी अभिव्यक्ति है जो एटम्स से बना है, ( $A$ - $Z$ अक्षर द्वारा दर्शाया गया है ), और ऑपरेटरों का तात्पर्य है ( $\rightarrow$ ) और नहीं ( $\neg$ )।

उदाहरण के लिए अगर मैं पहला स्वयंसिद्ध (LS1) पेश करना चाहता था तो मैं परिचय कर सकता था

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

या

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

$\phi$$A$$\psi$$B$$\phi$$(A\rightarrow A)$$\psi$$\neg D$

आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले विकल्प क्या हैं, यह इस बात पर निर्भर करेगा कि आपको इस समय सबूत में क्या चाहिए।

एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप

अब जब हम बयान दे सकते हैं तो हमें नए बयान देने के लिए उन्हें एक साथ जोड़ना होगा। जिस तरह से यह thatukasiewicz के Axiom स्कीमा (LS) में किया जाता है वह मोडस पोंन्स के साथ है। मोडस पोंन्स हमें फॉर्म के दो स्टेटमेंट लेने की अनुमति देता है

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

और तत्काल एक नया बयान

$\psi$

$\phi$$\psi$

सबूत में दो बयान कहीं भी हो सकते हैं, उन्हें एक-दूसरे या किसी विशेष आदेश के बगल में नहीं होना चाहिए।

कार्य

आपका काम गर्भ निरोधकों के कानून को साबित करना होगा । यह कथन है

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

अब आप देख सकते हैं कि यह बल्कि परिचित है, यह हमारे तीसरे स्वयंसिद्ध के रिवर्स का एक तात्कालिकता है

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

हालाँकि यह कोई तुच्छ उपलब्धि नहीं है।

स्कोरिंग

इस चुनौती के लिए स्कोरिंग बहुत आसान है, हर बार जब आप एक बिंदु के रूप में एक स्वयंसिद्ध मायने रखता है और एक बिंदु के रूप में मापांक के प्रत्येक उपयोग मायने रखता है। यह अनिवार्य रूप से आपके प्रमाण में लाइनों की संख्या है। लक्ष्य आपके स्कोर को कम से कम करना चाहिए (इसे जितना संभव हो उतना कम करें)।

उदाहरण प्रमाण

$A\rightarrow A$

$A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

टेक्स

$\phi$$\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$$(\neg A\rightarrow\neg A)$$(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

टेक्स

$\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

टेक्स

$(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

टेक्स

$\chi$$A\rightarrow\chi$

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

टेक्स

$\omega$$A$$B$$A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

टेक्स

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

और वह एक प्रमाण है।

साधन

सत्यापन कार्यक्रम

यहाँ एक प्रोलॉग कार्यक्रम है जिसे आप यह सत्यापित करने के लिए उपयोग कर सकते हैं कि आपका प्रमाण वास्तव में वैध है। प्रत्येक चरण को अपनी लाइन पर रखा जाना चाहिए। ->इसका उपयोग आकृतियों के लिए किया -जाना चाहिए और इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए, परमाणुओं को वर्णमाला के किसी भी तार द्वारा दर्शाया जा सकता है।

Metamath

मेटामैथ प्रपोजल कैलकुलस में इसके प्रमाणों के लिए asukasiewicz सिस्टम का उपयोग करता है, इसलिए आप थोड़ा इधर-उधर ताकना चाहते हैं। उनके पास इस प्रमेय का एक प्रमाण भी है जो इस चुनौती को पूछता है जिसके लिए यहां पाया जा सकता है । साक्ष्यों को कैसे पढ़ा जाए, इसकी यहाँ एक व्याख्या है ।

अतुल्य सबूत मशीन

@ एंटनी ने मुझे इनक्रेडिबल प्रूफ मशीन नामक एक उपकरण के बारे में अवगत कराया, जो आपको एक अच्छा ग्राफिकल प्रूफ सिस्टम का उपयोग करके कई प्रणालियों में प्रमाणों का निर्माण करने की अनुमति देता है। यदि आप नीचे स्क्रॉल करते हैं, तो आप पाएंगे कि वे iewukasiewicz प्रणाली का समर्थन करते हैं। इसलिए यदि आप एक अधिक दृश्य उन्मुख व्यक्ति हैं तो आप वहां अपने प्रमाण पर काम कर सकते हैं। आपका स्कोर माइनस 1 उपयोग किए गए ब्लॉकों की संख्या होगी।

Comments

रुको, मुझे मेरे

— डिस्क्रिट

@DigitalTrauma अब मैं एक अंडरग्रेजुएट हूँ और यह एक होमवर्क असाइनमेंट था जो मेरे पास था (माइनस द गोल्फ हिस्सा), इसलिए इसकी बहुत संभव है कि आपने इसका अध्ययन किया हो। मैं आपको प्रोत्साहित करने की कोशिश करता हूं, भले ही आपके पास "विशेषज्ञता" की कमी हो, मुझे लगता है कि यह चुनौती उन लोगों के लिए भी स्वीकार्य है, जिनकी पृष्ठभूमि ज्यादातर प्रोग्रामिंग में है।

— गेहूं जादूगर

@ mbomb007 आप डिडक्शन प्रमेय का उपयोग नहीं कर सकते, और चूंकि ombukasiewicz सिस्टम पूरा हो गया है इसलिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

— गेहूं जादूगर

अच्छी तरह से कम से कम आप एक एकल, सार्वभौमिक स्कीमा के लिए स्वयंसिद्धों को सीमित नहीं करते हैं:((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))

— mbomb007

अतुल्य सबूत मशीन सभी खींचें और ड्रॉप है और iewukasiewicz का समर्थन करती है। लगभग नीचे तक स्क्रॉल करें और "हिल्बर्ट सिस्टम" देखें। उदाहरण के लिए यहाँ प्रमाण @ user56656 ने दिया कि A → A

— Antony

Answer 1

88 82 77 72 कदम

10 कदमों को बचाने वाले बेहतर कॉम्बिनेटर रूपांतरणों के लिए H.PWiz को धन्यवाद!

व्याख्या

आप करी-हॉवर्ड पत्राचार से परिचित हो सकते हैं , जिसमें प्रमेय प्रकार के अनुरूप हैं और साक्ष्य उन प्रकार के कार्यक्रमों के अनुरूप हैं। Twoukasiewicz प्रणाली में पहले दो स्वयंसिद्ध वास्तव में K और S कम्बिनेटर हैं , और यह सर्वविदित है कि हम लैम्ब्डा कैलकुलस एक्सप्रेशंस का अनुवाद SK कॉम्बिनेटर के भावों में कर सकते हैं।

तो आइए हमारे स्वयंसिद्धों के अनुरूप कुछ भावों को लिखें (निम्नलिखित मान्य हास्केल सिंटैक्स है, जो सुविधाजनक है क्योंकि हम हास्केल संकलक का उपयोग करके अपने प्रमाणों की शाब्दिक जांच कर सकते हैं):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

तब हम वांछित कथन का प्रमाण कार्यक्रम के रूप में एक कार्यक्रम के रूप में लिख सकते हैं c(इस भाग में थोड़ी चतुराई है, लेकिन इसे 72-पंक्ति स्वयंसिद्ध प्रमाण की तुलना में लिखना बहुत आसान है):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

और इसे एसके कॉम्बिनेटर अभिव्यक्ति में परिवर्तित करें:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

उपरोक्त 17 k, 16 s, और 4 cकॉम्बिनेटर 16 एलएस 1, 16 एलएस 2 और 4 एलएस 3 इनवॉइस के नीचे के सबूत के अनुरूप हैं, और एक फ़ंक्शन के 38 आवेदन ऊपर के मूल्य से नीचे 38 एमपी इनवॉइस के अनुरूप हैं।

केवल 16 LS1 चालान क्यों? यह kऊपर के कॉम्बीनेटरों में से एक को बदल देता है, जिसमें एक मुक्त प्रकार का चर होता है, और इसे तुरंत ध्यान से देखने से यह दूसरे के डुप्लिकेट में बदल जाता है जो पहले से ही व्युत्पन्न हो चुका है।

सबूत

1. (ए → बी) → (¬¬A → (ए → बी)) एलएस १
2. ¬¬A → (¬¬ (ए → बी) → LSA) LS1
3. (((A → B) → →A) → (→A → A (A → B)) LS3
4. ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (→A → A (A → B)) → → ()A → ((B (A → B) → ¬¬A) → (A) ए → LS (ए → बी))) एलएस 1
5. ¬¬A → (((¬¬ (A → B) → (A) → (→A → ¬ (A → B)) MP 4,3
6. ((A → ((¬¬ (A → B) → )A) → (¬¬A → ¬ (A → B))) → ((¬¬A → (B A → B) → () (A)) → (¬¬A → (→A → A (A → B))) LS2
7. ()A → (¬¬ (A → B) → )A)) → (¬¬A → (¬A → B (A → B)) MP 6,5
8. ¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)) MP 7,2
9. (¬A → ¬ (ए → बी)) → ((ए → बी) → ए) एलएस ३
10. (()A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → ((A → ((→A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A ))) एलएस १
11. ¬¬A → ((¬A → ¬¬ (ए → बी)) → ((ए → बी) → ए) एमपी ९ ० ९९
12. (¬A → ((¬A → A (A → B)) → ((A → B) → A)) → ((→A → (¬A → ¬ (A → B)) → (ए) ¬¬A → ((ए → बी) → ए)) एलएस 2
13. (¬A → (¬A → ¬¬ (A → B)) → (¬¬A → ((A → B) → A)) MP 12,11
14. )A → ((A → B) → A) MP 13,8
15. (AA → ((A → B) → A) → ((→A → (A → B)) → ()A → A)) LS2
16. ((A → (A → B)) → (→A → A) MP 15,14
17. ((A → (A → B)) → ((→A → A) → (¬¬A → B)) LS2
18. ((→A → (A → B)) → ((→A → A) → ((BA → B))) → (((¬¬A → (A → B)) → (→A) → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (→A → B)) LS2
19. ((→A → (A → B)) → (→A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP १17,१ →
20. ((A → (A → B)) → (→A → B) MP 19,16
21. ((→A → (A → B)) → (→A → B)) → ((A → B) → ((→A → (A → B)) → (¬¬A → B) ) LS1
22. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (→A → B)) MP 21,20
23. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (→A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) LS2
24. ((A → B) → (¬¬A → (A → B)) → ((A → B) → ()A → B)) MP 23,22
25. (A → B) → (¬¬A → B) MP 24,1
26. (→A → B) → (¬B → (→A → B)) LS1
27. ((¬A → B) → (¬¬B → (→A → B))) → ((A → B) → ((→A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) ))) एलएस १
28. (A → B) → (((→A → B) → ((B → (→A → B))) 27/26
29. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (→B → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → B) → () A → B) → (¬B → (→A → B))) LS2
30. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬B → ((A → B)) MP 29,28
31. (A → B) → (¬B → (→A → B)) MP 30,25
32. ¬B → (¬¬ (¬¬A → () (A → B) → )A)) → ¬¬A) CE1
33. ((((A → (¬¬ (A → B) → )A)) → )B) → (B → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ) LS3
34. ((¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → )A)) → ¬B) → (B → ((¬¬A → (B A + B) → ¬¬A) ))) → (¬B → (¬¬ (→A → (B A → B) → →A)) → )B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ A) → बी) → BA)))) एलएस 1
35. ¬B → ((¬¬ (¬A → (A → B) → ¬¬A)) → BB) → (B → ¬ (¬¬A → (B A → B) → ¬) ¬A)))) एमपी 34,33
36. (¬¬B → (¬¬ (¬A → () A (B) → ¬¬A)) → (B) → (B → ¬ (¬¬A → (B A → B)) )A))))) → ((→B → (¬¬A → (¬¬A (A → B) → BA)) → ¬B)) → (¬B → (B →)) ()A → (¬¬ (ए → बी) → )A)))) एलएस २
37. (→B → (¬¬A (¬¬A → (A → B) → ¬¬A)) → (B)) → (¬B → (B → ¬) (¬¬A → (¬¬ A) → बी) → BA)))) एमपी 36,35
38. ¬B → (B → ¬ (¬A → (A (A → B) → )A))) ३ B ३ B-३२
39. (B → ¬¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) → (BA → (B → ¬) (¬¬A → (B A (B →)) ¬¬ ए)))) एलएस 1
40. ((B → ((¬¬A → (A (A → B) → →A))) → (BA → (B → ¬) (¬¬A → (B A → B) → ¬) ¬A))))) (¬B → ((B → ¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ ())) A → (¬¬ (A → B) → )A))))) LS1
41. ¬B → ((B → ¬ (→A → () (A → B) → )A))) → ()A → (B → ¬) (¬¬A → (B A → B) ) → ,A)))) एमपी 40,39
42. (¬¬B → ((B → ¬ (¬¬A → () (A → B) → →A))) → ()A → (B → ¬) ((A → (¬¬ A) B) → )A))))) → ((→B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → (¬¬) ¬A → (B → ¬ (¬A → (A (A → B) → )A)))) LS2
43. (¬¬B → (B → ¬ (→A → () (A → B) → )A)))) → ()B → (¬¬A → (B → (A) ((A) B (ए → बी) → )A)))) एमपी 42,41
44. ¬B → (¬¬A → (B → ¬¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) एमपी ४३,३¬¬
45. (¬¬A → (B → ¬ (→A → () (A → B) → )A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ ((A) → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) LS2
46. ((¬¬A → (B → ¬ (→A → () (A → B) → )A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (→) A → (¬¬ (A → B) → )A)))) → (¬¬B → ((¬A → (B → ¬) (¬¬A → (B A (B →)) ¬¬ A)))) → ((()A → B) → (→A → ¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → )A))))) LS1
47. ¬B → (¬A → (B → ¬¬ (¬¬A → (B (A → B) → )A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → () ()A → (¬¬ (ए → बी) → )A)))) एमपी ४६,४५
48. (BB → (¬¬A → (B → ¬¬ (¬¬A → (B (A → B) → )A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A →) ¬¬ (BA → (¬¬ (A → B) → )A))))) → ((¬¬B → (¬A → (B → ¬) (¬¬A → (¬¬ A)) B) → ¬A)))) → (→B → ((¬¬A → B) → (¬A → ¬¬ (¬¬A → (B (A → B) → ¬¬A)) )))) एलएस 2
49. (→B → (¬¬A → (B → ¬¬ (¬¬A → (B (A → B) → )A))))) → (¬B → ((¬¬A → B) → (ए) ¬¬A → ¬¬ (¬¬A → (((ए → बी) → →A)))) एमपी ४¬४६¬
50. ¬B → ((¬¬A → B) → (→A → ¬¬ ((A → (B (A → B) → )A))) MP 49,44
51. ()B → (¬¬A → B) → (→A → ¬¬ ((A → (B (A → B) → )A)))) → ((¬B → (() A → B)) → (¬B → (→A → ¬¬ ()A → (¬¬ (A → B) → )A)))) LS2
52. ()B → (¬¬A → B)) → (→B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → )A)))) सांसद ५१,५०
53. (()B → (¬¬A → B)) → (→B → (¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (A → B) → ((¬B → (→A → B)) → (→B → (¬¬A → ¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) ) LS1
54. (A → B) → ((¬B → (→A → B)) → (¬B → (¬A → ¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) )) एमपी ५३,५२
55. ((A → B) → ((¬B → (→A → B)) → (→B → (¬A → ¬¬) (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) → ((((A → B) → (→B → ()A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬) ((A → () B (ए → बी) → )A))))) एलएस 2
56. ((A → B) → (¬B → (→A → B)) → ((A → B) → (¬¬B → (¬¬A → ¬) (¬¬A → (B A → B) ) → ,5A)))) एमपी 55,54
57. (A → B) → (¬B → (→A → ¬¬ (BA → (¬¬ (A → B) → )A))) सांसद ५६,३१
58. ()A → (¬¬ (A → B) → )A)) → ((¬¬A → ¬¬ (¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → (() ¬A → (¬¬ (ए → बी) → )A)) LS1
59. ((A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) सांसद ५,2,२
60. (¬A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬A ) LS3
61. ((→A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) → ((→A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → → A)) → (((¬¬A → ¬¬ (¬¬A → (B A → B) → →A)) → → (¬¬A → (B A (B →) → ¬¬A) ))) → ((¬¬A →) (¬¬A → (→ (A → B) → →A))) → )A)) LS2
62. ((→A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ( ((A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) 61A) MP 61,60
63. ((A → ¬ (¬¬A → (A (A → B) → )A))) ,5A MP 62,59
64. ((→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → )A))) → (A) → (¬B → ((¬¬A → ¬A) (→A) B (A → B) → BA))) ¬A)) LS1
65. ¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → →A)) → )A) MP 64,63
66. (¬B → (¬¬A → ¬¬ (¬¬A → (B (A → B) → →A))) → ¬A)) → ((¬B → (¬¬A → ¬) ¬A → (¬¬ (A → B) → )A))) → ((¬B → ¬¬A)) 2
67. (¬B → (¬¬A → ¬ (→A → (¬ (A → B) → )A))) → ()B → ¬A) MP 66,65
68. ((¬B → (¬¬A → ¬¬ (¬¬A → (B A → B) → )A))) → ((¬B → ¬A)) → ((A → B) → ( (¬B → (¬¬A → ¬ (→A → (¬ (A → B) → )A)))) → (¬B → ¬A)) LS1
69. (A → B) → ((¬B → (→A → ¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → )A)))) → (¬B → ¬A)) MP 68, 67
70. ((A → B) → ((¬B → (→A → ¬¬ ((A → (¬¬ A → B) → )A))) → ((¬B → ¬A)) → (((A → B) → (¬B → (→A → ¬¬ ((A → (B (A → B) → )A)))) → ((A → B) → (B) बी → ¬A))) LS2
71. ((A → B) → (¬B → (→A → ¬¬ ((A → (¬¬ (A → B) → )A)))) → ((A → B) → (¬B) → →A)) MP 70,69
72. (A → B) → (¬B → )A) MP 71,57

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

Comments

वाह यह आश्चर्यजनक है।

— ज़ाचारि

मैं नहीं बता सकता कि क्या यह चरणों में छोटा है, और अभी जाना है। लेकिन मुझे वह मिला s(s(k s)(s(k(s(k c)))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))))k जो आपके समान है लेकिन थोड़े छोटे अंत के साथ

— H.PWiz

@ H.PWiz नीट, जो वास्तव में थोड़ा अलग प्रूफ प्रोग्राम से मेल खाती है। अपडेट किया गया।

— एंडर्स कासोर्ग

कैसे के बारे में s(k(s(k(s c(k s)))))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))?

— H.PWiz

@ H.PWiz फ्री टाइप वैरिएबल ट्रिक के साथ एक और −5 के लिए अच्छा है।

— एंडर्स कासोर्ग

Answer 2

91 कदम

पूर्ण प्रमाण:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

5 नींबू का उपयोग करके एक अधिक मानव-पठनीय संस्करण:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

Comments

साइट पर आपका स्वागत है और प्रभावशाली उत्तर! क्या आपने प्रोलॉग स्क्रिप्ट के साथ अपना जवाब सत्यापित किया है? यदि हां, तो क्या आप उक्त सत्यापन के लिए एक लिंक सहित बुरा मानेंगे?

— 13

@cairdcoinheringaahing मैंने उत्तर देने के लिए प्रस्तावना स्क्रिप्ट में एक tio लिंक जोड़ा है ताकि इसे सत्यापित किया जा सके (यह काम करता है)। आमतौर पर मैं लिंक पर टिप्पणी करता हूं लेकिन टिप्पणी में फिट होने के लिए लिंक बहुत लंबा है।

— गेहूं जादूगर

यह मूल रूप से प्रमाण है कि मैं बनाने की प्रक्रिया में था, सिवाय इसके कि आपने अलग-अलग नींबू का इस्तेमाल किया। मैंने पहचान के सिद्धांत का इस्तेमाल किया। इसके अलावा, मैंने अभी तक डबल नेगेटिव एलिमिनेशन को साबित नहीं किया था, क्योंकि इस बात का प्रमाण कि मैं कंट्राडिक्शन रियलाइजेशन बना रहा था।

— mbomb007

तुम बाहर लेम्मा 5 में कटौती और बदले साबित और प्रतिस्थापन प्रमेय का उपयोग से प्राप्त करने के लिए करने में सक्षम होगा (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)करने के लिए (A → B) → (¬B → ¬A)कम चरणों में?

— mbomb007

मुझे लगता है कि बहुत पहला कदम बेमानी है? मुझे यह संदर्भित करने में कुछ भी नहीं मिला इसलिए मैंने इसे उस लाइन के बिना टीआईओ पर चलाने की कोशिश की और कोई भी "अमान्य कदम" चेतावनी नहीं मिली।

— एंटनी

Answer 3

59 कदम

मेटामैथ के लेखक नॉर्मन मेगिल ने मुझे 59 स्टेप प्रूफ के बारे में बताया है , जिसे मैं इस कम्युनिटी विकी में यहाँ पोस्ट करने जा रहा हूँ। इस पृष्ठ पर मूल प्रमेय 2.16 में पाया जा सकता है।

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

नॉर्म कहते हैं: यह पृष्ठ आपको हरा देने के लिए बहुत सारी चुनौतियाँ प्रदान करेगा!

यहाँ सबूत है

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

प्रमाण पोलिश संकेतन में है, इसलिए यह निष्कर्ष से शुरू होता है और तब तक जारी रहता है जब तक कि हर शब्द एक स्वयंसिद्ध द्वारा संतृप्त नहीं किया गया हो। चरित्र मानचित्रण निम्नानुसार है: "1" एलएस स्वयंसिद्ध 1 है, "2" एलएस स्वयंसिद्ध 2 है, "3" एलएस स्वयंसिद्ध 3 है, और "डी" मोडस पोन्स है।

यहाँ प्रमाण @ WW के सुझाए गए प्रारूप में है

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

यहां यह द इनक्रेडिबल प्रूफ मशीन में है

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Comments

मुझे इस तरह के प्रारूप का सुझाव देना याद नहीं है ... जो इसके लायक है, उसी के अनुरूप अभिव्यक्ति है s(k(s(k c)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))(s(k(c(s(s(k c)(s(k c)k))k))))। मेरे पास हालांकि

— लैम्बदास में

@ H.PWiz इट \x -> c (\y -> c (\z -> c (c (\_ -> z)) (\_ -> z)) (x (c (c (\_ -> y)) (\z -> c (\t -> c (c (\_ -> t)) (\_ -> t)) (x z)))))। (संभवत: यदि आप उस दिशा से संपर्क कर रहे थे तो आप क्या नहीं लिखेंगे।)

— एंडर्स केसेगोर

@AndersKaseorg हाँ, मैंने पाया कि उपयोगी प्रमेयों को निकाल दिया गया है: यहाँ

— H.PWiz

@ H.PWiz, क्षमा करें, नहीं, आपने उस प्रारूप का सुझाव नहीं दिया था। मेरा मतलब था कि (मार्जिन को छीन लिया गया) यह आपके प्रोलॉग वेरिफायर के साथ संगत है।

— एंटनी

मुझे आपके ओपी के लिए गलती करने पर खेद है, @ H.PWiz मुझे डर है कि आपका उपयोगकर्ता नाम डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू के कई नामों के उत्तराधिकारी में से एक जैसा दिख रहा है i.imgur.com/VoSVoqI.png

— एंटनी