Treewidth एक अनिर्दिष्ट ग्राफ का ग्राफ़ थ्योरी में एक बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा है। टनों ग्राफ एल्गोरिदम का आविष्कार किया गया है जो कि तेजी से चलते हैं यदि आपके पास छोटे ट्रेविद के साथ ग्राफ का अपघटन होता है।
ट्रीविद को अक्सर पेड़ के विघटन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ एक ग्राफ और उस ग्राफ के एक पेड़ के अपघटन, विकिपीडिया के सौजन्य से:
एक पेड़ का अपघटन एक पेड़ है जहां प्रत्येक शीर्ष मूल ग्राफ के कोने के सबसेट के साथ जुड़ा हुआ है, निम्नलिखित प्रश्न हैं:
- मूल ग्राफ में प्रत्येक शीर्ष कम से कम एक उपसमुच्चय में है।
- मूल ग्राफ़ में प्रत्येक किनारे में कम से कम एक सबसेट में इसके दोनों कोने हैं।
- विघटन में सभी कोने जिनके उपसेट में एक दिया गया मूल शीर्ष जुड़ा हुआ है।
आप देख सकते हैं कि उपरोक्त अपघटन इन नियमों का पालन करता है। एक पेड़ के अपघटन की चौड़ाई इसके सबसे बड़े उपसमुच्चय, माइनस एक का आकार है। इसलिए, यह उपरोक्त अपघटन के लिए दो है। किसी ग्राफ़ का ट्रेविडीथ उस ग्राफ़ के किसी भी पेड़ के अपघटन की सबसे छोटी चौड़ाई है।
इस चुनौती में, आपको एक जुड़ा हुआ, अप्रत्यक्ष ग्राफ दिया जाएगा, और आपको इसका संक्षिप्त विवरण खोजना होगा।
जबकि पेड़ के डीकंपोज़िशन का पता लगाना कठिन है, ट्रेविद की गणना करने के अन्य तरीके हैं। विकिपीडिया पृष्ठ में अधिक जानकारी है, लेकिन ट्रेविदथ की गणना करने की एक विधि का उल्लेख नहीं किया गया है जो अक्सर एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है कि ट्रेविद की गणना करने के लिए न्यूनतम उन्मूलन आदेश चौड़ाई है। देखें यहाँ एक कागज इस तथ्य को प्रयोग करने के लिए।
एक उन्मूलन आदेश में, एक समय में एक ग्राफ के सभी कोने को समाप्त करता है। जब प्रत्येक शीर्ष को समाप्त कर दिया जाता है, तो किनारों को उस शीर्ष के पड़ोसी के सभी को एक दूसरे से जोड़ते हुए जोड़ा जाता है। यह तब तक दोहराया जाता है जब तक कि सभी कोने नहीं चले जाते। उन्मूलन आदेश देने की चौड़ाई पड़ोसियों की सबसे बड़ी संख्या है जो किसी भी शीर्ष को समाप्त किया जा रहा है, इस प्रक्रिया के दौरान है। समाप्ति आदेश चौड़ाई के सभी आदेशों पर न्यूनतम के बराबर है। यहाँ इस तथ्य का उपयोग करते हुए ट्रेविदथ की गणना करने के लिए एक उदाहरण कार्यक्रम है:
import itertools
def elimination_width(graph):
max_neighbors = 0
for i in sorted(set(itertools.chain.from_iterable(graph))):
neighbors = set([a for (a, b) in graph if b == i] + [b for (a, b) in graph if a == i])
max_neighbors = max(len(neighbors), max_neighbors)
graph = [edge for edge in graph if i not in edge] + [(a, b) for a in neighbors for b in neighbors if a < b]
return max_neighbors
def treewidth(graph):
vertices = list(set(itertools.chain.from_iterable(graph)))
min_width = len(vertices)
for permutation in itertools.permutations(vertices):
new_graph = [(permutation[vertices.index(a)], permutation[vertices.index(b)]) for (a, b) in graph]
min_width = min(elimination_width(new_graph), min_width)
return min_width
if __name__ == '__main__':
graph = [('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c'), ('b', 'e'), ('b', 'f'), ('b', 'g'),
('c', 'd'), ('c', 'e'), ('d', 'e'), ('e', 'g'), ('e', 'h'), ('f', 'g'), ('g', 'h')]
print(treewidth(graph))
उदाहरण:
[(0, 1), (0, 2), (0, 3), (2, 4), (3, 5)]
1
[(0, 1), (0, 2), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (6, 7)]
2
[(0, 1), (0, 3), (1, 2), (1, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (4, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8)]
3
[(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)]
4
आपको इनपुट के रूप में ग्राफ प्राप्त होगा, और आपको ट्रेविद को आउटपुट के रूप में वापस करना होगा। इनपुट प्रारूप लचीला है। आप इनपुट के रूप में किनारों, एक आसन्न मानचित्र, या आसन्न मैट्रिक्स की एक सूची ले सकते हैं। यदि आप किसी अन्य इनपुट प्रारूप का उपयोग करना चाहते हैं, तो टिप्पणियों में पूछें। आप मान सकते हैं कि इनपुट जुड़ा हुआ है, और आप अपने इनपुट प्रारूप में उस धारणा का निर्माण कर सकते हैं, जैसे कि किनारों की सूची का उपयोग करके।
संपादित करें: अंतर्निहित कार्य जो ट्रेविद की गणना करते हैं, उन्हें अनुमति नहीं है। मैं इस बात को स्पष्ट नहीं करने के लिए माफी चाहता हूं।
सबसे छोटा कोड जीतता है।
(V,E)क्या यह एक वैध इनपुट होगा?