परिभाषाएं
यदि आप पहले से ही समूहों , परिमित समूहों और उपसमूहों की परिभाषा जानते हैं तो आप इस भाग को छोड़ सकते हैं ।
समूह
सार बीजगणित में, एक समूह एक टपल है (जी, *) है, जहां जी एक सेट है और * एक समारोह है जी × जी → जी ऐसा है कि निम्नलिखित रखती है:
बंद: सभी के लिए एक्स, वाई में जी , x * y भी है जी (तथ्य यह है कि से गर्भित * एक समारोह है जी × जी → जी )।
संबद्धता: सभी x, y, z के लिए G , (x ∗ y): z = x ∗ (y all z) ।
पहचान: जी में एक तत्व ई मौजूद है जैसे कि सभी एक्स के लिए जी , एक्स x ई = एक्स = ई । एक्स ।
उलटा: प्रत्येक के लिए एक्स में जी , एक तत्व मौजूद है y में जी ऐसी है कि एक्स * y = ई = y * एक्स , जहां ई पहचान तत्व पिछले बुलेट बिंदु में वर्णित है।
परिमित समूह
एक परिमित समूह एक समूह (G, ite) है जहां G परिमित है, अर्थात इसमें कई तत्व हैं।
उपसमूहों
एक समूह (G, is ) का एक उपसमूह (H, H ) ऐसा है कि H , G का एक उपसमूह है (आवश्यक रूप से उचित उपसमुच्चय नहीं) और (H, ∗) भी एक समूह है (अर्थात उपरोक्त 4 मानदंड को संतुष्ट करता है)।
उदाहरण
पर विचार करें डिहेड्रल समूह डी 3 (जी, *) जहां जी = {1, ए, बी, सी, डी, ई} और * नीचे (इस तरह एक मेज एक कहा जाता है परिभाषित किया गया है केली तालिका ):
∗ | 1 एबीसीडीई - + ---------------------- 1 | 1 एबीसीडीई ए | AB 1 DEC B | बी 1 एईसीडी सी | CED 1 बीए डी | डीसीईए 1 बी ई | EDCBA 1
इस समूह में, पहचान 1 है । इसके अलावा, एक और बी एक दूसरे के प्रतिलोम हैं, जबकि 1 , सी , डी , और ई क्रमशः खुद को के प्रतिलोम हैं (के प्रतिलोम 1 है 1 , का प्रतिलोम सी है सी , के प्रतिलोम डी है डी , और का प्रतिलोम ई है ई )।
अब, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि (H, ∗) जहाँ H = {1, A, B} (G, ( ) का उपसमूह है । बंद करने के लिए, नीचे दी गई तालिका देखें:
∗ | 1 एबी - + ---------- 1 | 1 एबी ए | एबी १ B | बी 1 ए
जहां में तत्वों की हर संभव जोड़े एच के तहत * में एक सदस्य देना एच ।
एच । के तत्व जी के तत्व हैं , क्योंकि संघात को जांच की आवश्यकता नहीं है ।
पहचान 1 है । समूह की पहचान के साथ भी ऐसा ही होना चाहिए। साथ ही, समूह में पहचान अद्वितीय होनी चाहिए। (क्या आप यह साबित कर सकते हैं?)
व्युत्क्रम के लिए, जाँचें कि A का व्युत्क्रम B है , जो H का सदस्य है । B का विलोम A है , जो H का सदस्य भी है । 1 का उलटा अभी भी स्वयं है, जिसे जाँच की आवश्यकता नहीं है।
कार्य
विवरण
एक परिमित समूह (G, ∗) को देखते हुए , इसके उपसमूहों की संख्या ज्ञात कीजिए।
इनपुट
एक समूह (G, ∗) के लिए , आपको आकार n × n का एक 2D सरणी प्राप्त होगा , जहां n में तत्वों की संख्या G है । मान लें कि सूचकांक 0पहचान तत्व है। 2D सरणी गुणन तालिका का प्रतिनिधित्व करेगी। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए समूह के लिए, आपको निम्न 2D सरणी प्राप्त होगी:
[[0, 1, 2, 3, 4, 5],
[1, 2, 0, 4, 5, 3],
[2, 0, 1, 5, 3, 4],
[3, 5, 4, 0, 2, 1],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[5, 4, 3, 2, 1, 0]]
उदाहरण के लिए, आप देख सकते हैं कि 3 = 1 = 5 क्योंकि a[3][1] = 5, aऊपर 2 डी सरणी कहां है।
टिप्पणियाँ:
- आप 1-अनुक्रमित 2D सरणी का उपयोग कर सकते हैं।
- पहचान के लिए पंक्ति और स्तंभ को छोड़ा जा सकता है।
- आप फिट होते हुए अन्य स्वरूपों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह सुसंगत होना चाहिए। (यानी आप चाहते हैं कि अंतिम सूचकांक इसके बजाय पहचान हो, आदि)
उत्पादन
एक सकारात्मक संख्या समूह में उपसमूहों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।
उदाहरण के लिए, ऊपर के समूह के लिए, (H, is ) जब भी H = का उपसमूह (G, group ) होता है
- {1}
- {, ए, बी}
- {1, सी}
- {1, डी}
- {1, ई}
- {, ए, बी, सी, डी, ई}
इसलिए, 6 उपसमूह हैं, और इस उदाहरण के लिए आपका आउटपुट होना चाहिए 6।
संकेत
आप उन लेखों को पढ़ सकते हैं जिनसे मैं जुड़ा था। उन लेखों में समूहों और उपसमूहों के बारे में प्रमेय शामिल हैं जो आपके लिए उपयोगी हो सकते हैं।
स्कोरिंग
यह कोड-गोल्फ है । सबसे कम बाइट-काउंट जीत के साथ जवाब दें।
0पहचान तत्व को कॉल करने जा रहे हैं , तो यह ऑपरेटर को गुणन के रूप में वर्णित करने के लिए भ्रमित कर रहा है ...