पायथन 2.7
यह दृष्टिकोण निम्नलिखित बातों का लाभ उठाता है:
किसी भी पूर्णांक को दो की शक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। दो की शक्तियों में घातांक को दो की शक्तियों के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
ये अभिव्यक्तियाँ जिनका हम अंत करते हैं, उन्हें सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है (पायथन में, मैंने अंतर्निहित frozenset) का उपयोग किया है :
0खाली सेट बन जाता है {}।2^aसेट का प्रतिनिधित्व करने वाला सेट बन जाता है a। जैसे: 1 = 2^0 -> {{}}और 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}।a+bसेट का प्रतिनिधित्व करने के संयोजन हो जाता है aऔर b। उदाहरण के लिए,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
यह पता चला है कि फॉर्म के भाव 2^2^...^2आसानी से उनके अनूठे सेट प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं, यहां तक कि जब संख्यात्मक मान पूर्णांक के रूप में संग्रहीत करने के लिए बहुत बड़ा है।
इसके लिए n=20, यह मेरी मशीन पर सीपीथॉन 2.7.5 पर 8.7 रन (पायथन 3 में थोड़ा धीमा और PyPy में बहुत धीमा) पर चलता है:
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(संस्मरण सज्जाकार की अवधारणा को http://code.activestate.com/recipes/578231-probably-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ से कॉपी किया गया है ।)
आउटपुट:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
अलग के लिए समय n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
nमेरी मशीन पर मेमोरी त्रुटि में कोई भी 21 से अधिक परिणाम।
मुझे दिलचस्पी होगी अगर कोई इसे अलग भाषा में अनुवाद करके तेजी से बना सकता है।
संपादित करें:get_results फ़ंक्शन को अनुकूलित किया । इसके अलावा, 2.7.2 के बजाय पायथन 2.7.5 का उपयोग करने से यह थोड़ा तेज हो गया।
2^n, और इसलिए इसे छोड़कर किसी भी चीज का ट्रैक रखना अनावश्यक होगाn। यानी, बस प्रतिपादक के नियमों का उपयोग करना बुद्धिमान लगता है। हालांकि, ऐसा करने के लिए निश्चित रूप से एक चालाक और पूरी तरह से बीजगणितीय तरीका है।