सबसे छोटे गोल्ब शासकों को खोजें

Question

गॉम्ब शासक गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के सेट होते हैं जैसे कि सेट में पूर्णांक के दो जोड़े समान दूरी नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, [0, 1, 4, 6]एक गोलमोल शासक है क्योंकि इस सेट में दो पूर्णांकों के बीच की सभी दूरी अद्वितीय हैं:

0, 1 -> distance 1
0, 4 -> distance 4
0, 6 -> distance 6
1, 4 -> distance 3
1, 6 -> distance 5
4, 6 -> distance 2

इस चुनौती में सादगी के लिए (और चूंकि अनुवाद तुच्छ है), हम मानते हैं कि एक गोलमोल शासक में हमेशा संख्या होती है0 (जो कि पिछले उदाहरण में होती है)।

चूंकि यह सेट लंबाई का है 4, हम कहते हैं कि इस का एक Golomb शासक है आदेश 4 । इस सेट में सबसे बड़ी दूरी (या तत्व, चूंकि 0हमेशा सेट में होती है) है 6, इसलिए हम कहते हैं कि यह लंबाई का एक गोलमोल शासक है 6।

आपका कार्य

(समावेशी) करने के 50 लिए गोलमोल शासकों का पता लगाएं 100, जिनकी जितनी छोटी लंबाई है उतनी आप पा सकते हैं। आपको जो शासक मिलेंगे, वे इष्टतम नहीं हैं (नीचे देखें)।

optimality

आदेश के एक गोलमोल शासक को Nइष्टतम कहा जाता है यदि आदेश का कोई अन्य गोलमोल शासक नहीं है, Nजिसकी लंबाई कम है।

इष्टतम गॉम्ब शासकों को 28 से कम ऑर्डर के लिए जाना जाता है , हालांकि ऑर्डर बढ़ने के साथ इष्टतमता को खोजना और साबित करना कठिन और कठिन है।

इसलिए, यह उम्मीद नहीं है कि आप के बीच आदेशों में से किसी के लिए इष्टतम Golomb शासक को खोजने 50और 100(और भी कम की उम्मीद आप को साबित कर सकते हैं कि वे इष्टतम हैं)।

आपके कार्यक्रम के निष्पादन में कोई समय सीमा नहीं है।

बेसलाइन

नीचे दी गई सूची में गोलमोल शासकों की लंबाई से 50लेकर 100(क्रम में) एक भोली खोज रणनीति के साथ मूल्यांकन किया गया है (इस सूची के लिए @PeterTaylor के लिए धन्यवाद):

[4850 5122 5242 5297 5750 5997 6373 6800 6924 7459 7546 7788 8219 8502 8729 8941 9881 10199 10586 10897 11288 11613 11875 12033 12930 13393 14046 14533 14900 15165 15687 15971 16618 17354 17931 18844 19070 19630 19669 20721 21947 22525 23290 23563 23880 24595 24767 25630 26036 26254 27218]

उन सभी लंबाई का योग है 734078।

स्कोरिंग

आपका स्कोर के बीच अपने सभी Golomb शासकों की लंबाई का योग होगा 50और 100, के बीच Golomb शासकों की लंबाई की राशि से विभाजित 50और 100आधारभूत में: 734078।

यदि आपको किसी विशिष्ट आदेश के लिए गोलमोल शासक नहीं मिला है, तो आप उस विशिष्ट क्रम के लिए आधार रेखा में लंबाई का दोगुना उपयोग करके अपने स्कोर की गणना उसी तरह करेंगे।

सबसे कम स्कोर वाला उत्तर जीतता है।

एक टाई के मामले में, सबसे बड़े क्रम की लंबाई जहां दो उत्तरों की तुलना की जाती है, और सबसे छोटा एक जीतता है। यदि सभी उत्तर सभी आदेशों के लिए समान लंबाई के होते हैं, तो वह उत्तर जो पहले पोस्ट किया गया था।

Comments

सम्बंधित। (2 डी में समान चुनौती।)

— मार्टिन एंडर

और OEIS प्रविष्टि ।

— मार्टिन एंडर

जब आप 50 और 100 के बीच के शासकों को कहते हैं, तो क्या आपका मतलब सीमा [50, 100) है? तो आदेश 100 शासक सहित नहीं ? क्योंकि आधार रेखा में केवल 50 तत्व होते हैं।

— orlp

साइड नोट: गोलम शासक की सबसे छोटी संभव लंबाई nहै n(n-1)/2, क्योंकि इसके कितने सकारात्मक अंतर हैं। इसलिए इस चुनौती में सबसे छोटा संभव स्कोर है 147050/734078 > 0.2003193।

— ग्रेग मार्टिन

@GregMartin धन्यवाद, हालांकि यह "सबसे छोटा संभव स्कोर" नहीं है, बल्कि उस छोटे से संभव स्कोर पर कम बाध्य है!

— 18

Answer 1

सी #, 259421/734078 ~ = 0.3534

तरीके

आखिरकार मुझे सामान्यीकृत सिडोन सेटों के निर्माण में प्रक्षेप्य क्षेत्र विधि (सिंगर विधि) की अधिक-या-कम पठनीय व्याख्या मिली , हालांकि मुझे अभी भी लगता है कि इसमें थोड़ा सुधार किया जा सकता है। यह मेरे द्वारा संप्रेषित अन्य कागजात की तुलना में एफिन क्षेत्र विधि (बोस की विधि) के समान है।

$q = p^a$$F(q)$

$F(q^2)$$g_2$$F(q^2)$$k$$F(q)$

$$\{a : g_2{}^a - k g_2 \in F_q\}$$ $q^2 - 1$$q^2 - 1$

$F(q^3)$$g_3$$F(q^3)$$k$$F(q)$

$$\{0\} \cup \{a : g_3{}^a - k g_3 \in F_q\}$$ $q^2 + q + 1$ । आगे के शासकों को उसी तरह से मॉड्यूलर गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है जैसे कि एफाइन फील्ड विधि के लिए।

ध्यान दें कि उनके बीच की ये विधियाँ 16 से अधिक की हर लंबाई के लिए सर्वोत्तम ज्ञात मूल्य देती हैं। टॉमस रोक्की और गिल डोगन किसी को भी 250 डॉलर का इनाम दे रहे हैं जो उन्हें 36 से 40000 की लंबाई के लिए हरा देता है। पुरस्कार।

कोड

C # बहुत मुहावरेदार नहीं है, लेकिन मुझे मोनो के पुराने संस्करण को संकलित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, तर्क की जाँच के बावजूद, यह उत्पादन गुणवत्ता कोड नहीं है। मैं प्रकारों से खुश नहीं हूं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि सी # में वास्तव में अच्छा समाधान है। शायद पागल टेम्प्लेटिंग के साथ एफ # या सी ++ में।

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Sandbox {
    class Program {
        static void Main(string[] args) {
            var winners = ComputeRulerRange(50, 100);
            int total = 0;
            for (int i = 50; i <= 100; i++) {
                Console.WriteLine("{0}:\t{1}", i, winners[i][i - 1]);
                total += winners[i][i - 1];
            }
            Console.WriteLine("\t{0}", total);
        }

        static IDictionary<int, int[]> ComputeRulerRange(int min, int max) {
            var best = new Dictionary<int, int[]>();

            var naive = Naive(max);
            for (int i = min; i <= max; i++) best[i] = naive.Take(i).ToArray();

            var finiteFields = FiniteFields(max * 11 / 10).OrderBy(x => x.Size).ToArray();

            // The projective plane method generates rulers of length p^a + 1 for prime powers p^a.
            // We can then look at subrulers for a reasonable range, say down to two prime powers below.
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q + 1);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q + q + 1;
                foreach (var ruler in ProjectiveRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            // Similarly for the affine plane method, which generates rulers of length p^a for prime powers p^a
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q - 1;
                foreach (var ruler in AffineRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            return best;
        }

        static int[] BestSubruler(int[] ruler, int sub, int m) {
            int[] expand = new int[ruler.Length + sub - 1];
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) expand[i] = ruler[i];
            for (int i = 0; i < sub - 1; i++) expand[ruler.Length + i] = ruler[i] + m;

            int best = m, bestIdx = -1;
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) {
                if (expand[i + sub - 1] - expand[i] < best) {
                    best = expand[i + sub - 1] - expand[i];
                    bestIdx = i;
                }
            }

            return expand.Skip(bestIdx).Take(sub).Select(x => x - ruler[bestIdx]).ToArray();
        }

        static IEnumerable<int[]> ProjectiveRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq3 = PowerField.Create(field, 3);
            var m = q * q + q + 1;
            var g = fq3.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^3-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // This could alternatively be T<k> = {0} \union {log_g(b - kg) : b in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 + q + 1) gives a Golomb ruler.
            // For a given generator we seem to get the same ruler for every k.
            var t_k = new HashSet<int>();
            t_k.Add(0);
            var ga = fq3.One;
            for (int a = 1; a < fq3.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq3.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static IEnumerable<int[]> AffineRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq2 = PowerField.Create(field, 2);
            var m = q * q - 1;
            var g = fq2.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^2-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 - 1) gives a Golomb ruler.
            var t_k = new HashSet<int>();
            var ga = fq2.One;
            for (int a = 1; a < fq2.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq2.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static int Gcd(int a, int b) {
            while (a != 0) {
                var t = b % a;
                b = a;
                a = t;
            }

            return b;
        }

        static int[] Naive(int size) {
            if (size == 0) return new int[0];
            if (size == 1) return new int[] { 0 };

            int[] ruler = new int[size];
            var diffs = new HashSet<int>();
            int i = 1, c = 1;
            while (true) {
                bool valid = true;
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (diffs.Contains(c - ruler[j])) { valid = false; break; }
                }

                if (valid) {
                    for (int j = 0; j < i; j++) diffs.Add(c - ruler[j]);
                    ruler[i++] = c;
                    if (i == size) return ruler;
                }

                c++;
            }
        }

        static IEnumerable<FiniteField> FiniteFields(int max) {
            bool[] isComposite = new bool[max + 1];
            for (int p = 2; p < isComposite.Length; p++) {
                if (!isComposite[p]) {
                     FiniteField baseField = new PrimeField(p); yield return baseField;
                    for (int pp = p * p, pow = 2; pp < max; pp *= p, pow++) yield return PowerField.Create(baseField, pow);
                    for (int pq = p * p; pq <= max; pq += p) isComposite[pq] = true;
                }
            }
        }
    }

    public abstract class FiniteField {
        private Lazy<FiniteFieldElement> _Zero;
        private Lazy<FiniteFieldElement> _One;

        public FiniteFieldElement Zero { get { return _Zero.Value; } }
        public FiniteFieldElement One { get { return _One.Value; } }
        public IEnumerable<FiniteFieldElement> Generators {
            get {
                for (int _g = 1; _g < Size; _g++) {
                    int pow = 0;
                    FiniteFieldElement g = Convert(_g), gpow = One;
                    while (true) {
                        pow++;
                        gpow = gpow * g;
                        if (gpow == One) break;
                        if (pow > Size) {
                            throw new Exception("Is this really a field? " + this);
                        }
                    }
                    if (pow == Size - 1) yield return g;
                }
            }
        }

        public abstract int Size { get; }
        internal abstract FiniteFieldElement Convert(int i);
        internal abstract int Convert(FiniteFieldElement f);

        internal abstract bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a);
        internal abstract FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);

        protected FiniteField() {
            _Zero = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(0));
            _One = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(1));
        }
    }

    public abstract class FiniteFieldElement {
        internal abstract FiniteField Field { get; }

        public static FiniteFieldElement operator -(FiniteFieldElement a) {
            return a.Field.Negate(a);
        }

        public static FiniteFieldElement operator +(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Add(a, b);
        }

        public static FiniteFieldElement operator *(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Mul(a, b);
        }

        public static bool operator ==(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (Equals(a, null)) return Equals(b, null);
            else if (Equals(b, null)) return false;

            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Eq(a, b);
        }

        public static bool operator !=(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) { return !(a == b); }

        public override bool Equals(object obj) {
            return (obj is FiniteFieldElement) && (obj as FiniteFieldElement).Field == Field && this == (obj as FiniteFieldElement);
        }

        public override int GetHashCode() { return Field.Convert(this).GetHashCode(); }

        public override string ToString() { return Field.Convert(this).ToString(); }
    }

    public class PrimeField : FiniteField {
        private readonly int _Prime;
        private readonly PrimeFieldElement[] _Featherweight;

        internal int Prime { get { return _Prime; } }
        public override int Size { get { return _Prime; } }

        public PrimeField(int prime) {
            if (prime < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("prime");

            // TODO A primality test would be nice...

            _Prime = prime;
            _Featherweight = new PrimeFieldElement[Math.Min(prime, 256)];
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= _Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");
            if (i >= _Featherweight.Length) return new PrimeFieldElement(this, i);
            if (Equals(_Featherweight[i], null)) _Featherweight[i] = new PrimeFieldElement(this, i);
            return _Featherweight[i];
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            return (f as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return (a as PrimeFieldElement).Value == (b as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            var fa = a as PrimeFieldElement;
            return fa.Value == 0 ? fa : Convert(_Prime - fa.Value);
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value + (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value * (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        public override string ToString() { return string.Format("F({0})", _Prime); }
    }

    internal class PrimeFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PrimeField _Field;
        private readonly int _Value;

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal int Value { get { return _Value; } }

        internal PrimeFieldElement(PrimeField field, int val) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (val < 0 || val >= field.Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("val");

            _Field = field;
            _Value = val;
        }
    }

    public class PowerField : FiniteField {
        private readonly FiniteField _BaseField;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Polynomial;

        internal FiniteField BaseField { get { return _BaseField; } }
        internal int Power { get { return _Polynomial.Length; } }
        public override int Size { get { return (int)Math.Pow(_BaseField.Size, Power); } }

        public PowerField(FiniteField baseField, FiniteFieldElement[] polynomial) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (polynomial == null) throw new ArgumentNullException("polynomial");
            if (polynomial.Length < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial");
            for (int i = 0; i < polynomial.Length; i++) if (polynomial[i].Field != baseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial[" + i + "]");

            // TODO Check that the polynomial is irreducible over the base field.

            _BaseField = baseField;
            _Polynomial = polynomial.ToArray();
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= Size) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");

            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int j = 0; j < vec.Length; j++) {
                vec[j] = BaseField.Convert(i % BaseField.Size);
                i /= BaseField.Size;
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            var pf = f as PowerFieldElement;
            int i = 0;
            for (int j = Power - 1; j >= 0; j--) i = i * BaseField.Size + BaseField.Convert(pf.Value[j]);
            return i;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            for (int i = 0; i < Power; i++) if (fa.Value[i] != fb.Value[i]) return false;
            return true;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            return new PowerFieldElement(this, (a as PowerFieldElement).Value.Select(x => -x).ToArray());
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int i = 0; i < Power; i++) vec[i] = fa.Value[i] + fb.Value[i];
            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;

            // We consider fa and fb as polynomials of a variable x and multiply modulo (x^Power - _Polynomial).
            // But to keep things simple we want to manage the cascading modulo.
            var vec = Enumerable.Repeat(BaseField.Zero, Power).ToArray();
            var fa_xi = fa.Value.ToArray();
            for (int i = 0; i < Power; i++) {
                for (int j = 0; j < Power; j++) vec[j] += fb.Value[i] * fa_xi[j];
                if (i < Power - 1) ShiftLeft(fa_xi);
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        private void ShiftLeft(FiniteFieldElement[] vec) {
            FiniteFieldElement head = vec[vec.Length - 1];
            for (int i = vec.Length - 1; i > 0; i--) vec[i] = vec[i - 1] + head * _Polynomial[i];
            vec[0] = head * _Polynomial[0];
        }

        public static FiniteField Create(FiniteField baseField, int power) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (power < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("power");

            // Since the field is cyclic, there is only one finite field of a given prime power order (up to isomorphism).
            // For most practical purposes that means that we can pick any arbitrary monic irreducible polynomial.
            // We can abuse PowerField to do polynomial multiplication in the base field.
            var fakeField = new PowerField(baseField, Enumerable.Repeat(baseField.Zero, power).ToArray());
            var excluded = new HashSet<FiniteFieldElement>();
            for (int lpow = 1; lpow <= power / 2; lpow++) {
                int upow = power - lpow;
                // Consider all products of a monic polynomial of order lpow with a monic polynomial of order upow.
                int xl = (int)Math.Pow(baseField.Size, lpow);
                int xu = (int)Math.Pow(baseField.Size, upow);
                for (int i = xl; i < 2 * xl; i++) {
                    var pi = fakeField.Convert(i);
                    for (int j = xu; j < 2 * xu; j++) {
                        var pj = fakeField.Convert(j);
                        excluded.Add(-(pi * pj));
                    }
                }
            }

            for (int p = baseField.Size; true; p++) {
                var pp = fakeField.Convert(p) as PowerFieldElement;
                if (!excluded.Contains(pp)) return new PowerField(baseField, pp.Value.ToArray());
            }
        }

        public override string ToString() {
            var sb = new System.Text.StringBuilder();
            sb.AppendFormat("GF({0}) with primitive polynomial x^{1} ", Size, Power);
            for (int i = Power - 1; i >= 0; i--) sb.AppendFormat("+ {0}x^{1}", _Polynomial[i], i);
            sb.AppendFormat(" over base field ");
            sb.Append(_BaseField);
            return sb.ToString();
        }
    }

    internal class PowerFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PowerField _Field;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Vector; // The version of Mono I have doesn't include IReadOnlyList<T>

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal FiniteFieldElement[] Value { get { return _Vector; } }

        internal PowerFieldElement(PowerField field, params FiniteFieldElement[] vector) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (vector == null) throw new ArgumentNullException("vector");
            if (vector.Length != field.Power) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector");
            for (int i = 0; i < vector.Length; i++) if (vector[i].Field != field.BaseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector[" + i + "]");

            _Field = field;
            _Vector = vector.ToArray();
        }
    }
}

परिणाम

दुर्भाग्य से शासकों को जोड़ने से मुझे पोस्ट आकार सीमा के बारे में 15k अक्षर लगेंगे, इसलिए वे पास्टबिन पर हैं ।

Comments

क्या आप कहीं अपने शासकों को [५०, १००] पोस्ट करने के लिए इतने दयालु होंगे? मेरे पास एक आनुवंशिक एल्गोरिथ्म है जिसे मैं आज़माना चाहता हूं, यह कुछ बीज मूल्यों को खिलाता है।

— orlp

@orlp, ने एक लिंक जोड़ा।

— पीटर टेलर

जैसा कि मुझे संदेह था, विकासवादी एल्गोरिथ्म इन बेहतर नमूनों में से कुछ भी नहीं निकाल सकता है। भले ही शुरू में ऐसा लगता था कि विकासवादी एल्गोरिदम काम कर सकते हैं (यह बहुत ही तुरंत अमान्य शासकों से वास्तविक शासकों की ओर बढ़ता है), विकासवादी एल्गोरिदम के काम करने के लिए बहुत अधिक वैश्विक संरचना की आवश्यकता है।

— orlp

Answer 2

पायथन 3, स्कोर 603001/734078 = 0.82144

Erd Nas-Turan निर्माण के साथ संयुक्त खोज

$$2pk + (k^2\bmod p),\, k \in [0, p-1]$$

विषम pr के लिए p यह एक अस्वाभाविक रूप से इष्टतम गोलमोल शासक देता है।

def isprime(n):
    if n < 2: return False
    if n % 2 == 0: return n == 2
    k = 3
    while k*k <= n:
         if n % k == 0: return False
         k += 2
    return True

rulers = []
ruler = []
d = set()
n = 0
while len(ruler) <= 100:
    order = len(ruler) + 1
    if order > 2 and isprime(order):
        ruler = [2*order*k + k*k%order for k in range(order)]
        d = {a-b for a in ruler for b in ruler if a > b}
        n = max(ruler) + 1
        rulers.append(tuple(ruler))
        continue

    nd = set(n-e for e in ruler)
    if not d & nd:
        ruler.append(n)
        d |= nd
        rulers.append(tuple(ruler))
    n += 1


isuniq = lambda l: len(l) == len(set(l))
isruler = lambda l: isuniq([a-b for a in l for b in l if a > b])

assert all(isruler(r) for r in rulers)

rulers = list(sorted([r for r in rulers if 50 <= len(r) <= 100], key=len))
print(sum(max(r) for r in rulers))

Comments

मुझे नहीं लगता कि यह निर्माण विषम रूप से इष्टतम है: इसके pबारे में आदेश और लंबाई के एक गोलम शासक को जन्म देता है 2p^2, जबकि गोलमोल शासक मौजूद हैंn और लंबाई केn^2 है।

— ग्रेग मार्टिन

@GregMartin विषमता के बीच 2p^2और कोई अंतर नहीं हैp^2 ।

— orlp

"Asymptotically" की आपकी परिभाषा पर निर्भर करता है, मुझे लगता है, लेकिन मेरे लिए, इस संदर्भ में वे बहुत अलग हैं।

— ग्रेग मार्टिन

Answer 3

गणितज्ञ, स्कोर 276235/734078 <0.376302

ruzsa[p_, i_] := Module[{g = PrimitiveRoot[p]},
  Table[ChineseRemainder[{t, i PowerMod[g, t, p]}, {p - 1, p}], {t, 1, p - 1}] ]

reducedResidues[m_] := Select[Range@m, CoprimeQ[m, #] &]

rotate[set_, m_] := Mod[set - #, m] & /@ set

scaledRuzsa[p_] := Union @@ Table[ Sort@Mod[a b, p (p - 1)],
  {a, reducedResidues[p (p - 1)]}, {b, rotate[ruzsa[p, 1], p (p - 1)]}]

manyRuzsaSets = Join @@ Table[scaledRuzsa[Prime[n]], {n, 32}];

tryGolomb[set_, k_] := If[Length[set] < k, Nothing, Take[set, k]]

Table[First@MinimalBy[tryGolomb[#, k] & /@ manyRuzsaSets, Max], {k, 50, 100}]

समारोह Imre Z. Ruzsaruzsa में पाए गए एक गोलोब शासक (जिसे एक सिडोन सेट भी कहा जाता है) के निर्माण को लागू करता है । पूर्णांक के एक सेट में एक रेखीय समीकरण को हल करना। आई। एक्टा अरिथ।, 65 (3): 259–282, 1993 । किसी भी प्रधान को देखते हुए p, यह निर्माण p-1पूर्णांक मोडुलो में निहित तत्वों के साथ एक गोलमोल शासक उत्पन्न करता है p(p-1)(यह पूर्णांक में स्वयं एक गोलमोल शासक होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है)।

पूर्णांक मॉडुलो में काम करने का एक और फायदा mयह है कि किसी भी गोल्ब शासक को घुमाया जा सकता है (सभी तत्वों में समान स्थिरांक को जोड़ा जाता है m), और स्केल किया गया (सभी तत्वों को उसी स्थिर से गुणा किया जाता है, जब तक कि वह स्थिर अपेक्षाकृत प्रमुख होता है m), और परिणाम अभी भी एक गोलमोल शासक है; कभी-कभी सबसे बड़ा पूर्णांक ऐसा करने से काफी कम हो जाता है। इसलिए फ़ंक्शन scaledRuzsaइन सभी स्केलिंग की कोशिश करता है और परिणाम रिकॉर्ड करता है।manyRuzsaSetsइस निर्माण को करने और पहले 32 सभी अपराधों के लिए स्केलिंग करने के परिणाम शामिल हैं (थोड़ा मनमाने ढंग से चुना गया, लेकिन 32 वें प्रधानमंत्री, 131, 100 से अधिक बड़ा है); इस सेट में लगभग 57,000 गोलमोल शासक हैं, जिन्हें गणना करने में कई मिनट लगते हैं।

बेशक, kएक गॉम्ब शासक के पहले तत्व स्वयं एक गॉम्ब शासक बनते हैं। इसलिए फ़ंक्शन tryGolombऐसे किसी भी शासक को देखता है जो उपरोक्त गणना किए गए किसी भी सेट से बना है। अंतिम पंक्ति Table...से सबसे अच्छा Golomb शासक यह कर सकते हैं कि हर आदेश की, का चयन करता है 50करने के लिए 100, सभी Golomb शासकों से इस तरह से मिल गया।

पाए गए लंबाई थे:

{2241, 2325, 2399, 2578, 2640, 2762, 2833, 2961, 3071, 3151, 3194, 3480, 3533, 3612, 3775, 3917, 4038, 4150, 4237, 4368, 4481, 4563, 4729, 4974, 5111, 5155, 5297, 5504, 5583, 5707, 5839, 6077, 6229, 6480, 6611, 6672, 6913, 6946, 7025, 7694, 7757, 7812, 7969, 8139, 8346, 8407, 8678, 8693, 9028, 9215, 9336}

मैं मूल रूप से दो अन्य निर्माणों, सिंगर और बोस के साथ इसे संयोजित करने जा रहा था; लेकिन ऐसा लगता है पीटर टेलर के जवाब ने पहले ही इसे लागू कर दिया है, इसलिए संभवतः मैं बस उन लंबाई को पुनर्प्राप्त करूंगा।

Comments

मैं आपके दावे से भ्रमित हूं कि पूर्णांकों में काम करने से mआप स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं। पर देखो [0, 1, 4, 6]आधुनिक 7. अगर मैं जोड़ने के 1 पर हम पाते हैं [0, 1, 2, 5]जो है, नहीं एक Golomb शासक।

— orlp

ऐसा इसलिए है क्योंकि आपको इसे काम करने के लिए एक मॉड -7 गॉम्ब शासक के साथ शुरू करना होगा। उदाहरण के लिए मॉडुलो 7 के बराबर होने के [0, 1, 4, 6]कारण मॉड -7 गॉम्ब शासक नहीं 1 – 0है 0 – 6।

— ग्रेग मार्टिन

जब मैं C # में अपने परिमित क्षेत्र कार्यान्वयन को लिख रहा था और डिबग कर रहा था, मैं चाहता था कि मैं गणितज्ञ को बेहतर जानता था। निश्चित रूप से नौकरी के लिए सही भाषाओं में से एक।

— पीटर टेलर