सबसे बड़ा प्राइम खोजें जो डिजिटली विलोपन के बाद भी प्रमुख है

Question

पर अधिक /math/33094/deleting-any-digit-yields-a-prime-is-there-a-name-for-this निम्नलिखित प्रश्न पूछा जाता है। आपके कितने अंक हैं, जो आपके किसी भी अंक को हटाने के बाद प्रमुख रहते हैं? उदाहरण के लिए 719ऐसा एक प्रमुख है जैसा कि आप प्राप्त करते हैं 71, 19और 79। जबकि यह प्रश्न अनसुलझा है, मैंने सोचा कि यह एक अच्छी कोडिंग चुनौती है।

टास्क। सबसे बड़ा प्राइम दें, जो आपके किसी एक अंक को डिलीट करने के बाद आप एक प्राइम बना रहे। आपको वह कोड भी प्रदान करना चाहिए जो इसे ढूंढता है।

स्कोर। आपके द्वारा दिया गया प्राइम का मूल्य।

जब तक वे स्वतंत्र हैं आप किसी भी प्रोग्रामिंग भाषा और लाइब्रेरी का उपयोग कर सकते हैं।

चीजों को शुरू करने के लिए, 99444901133लिंक्ड पेज पर सबसे बड़ा दिया गया है।

समय सीमा। मैं एक उत्तर में दिए गए पहले सही उत्तर से बड़ा होने के ठीक एक सप्ताह बाद दिए गए सबसे बड़े सही उत्तर को स्वीकार करूंगा 99444901133।

अब तक स्कोर।

अजगर (प्रिमो)

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111

जे (रैंडम) (यह उत्तर 21 फरवरी 2013 को एक सप्ताह के टाइमर से शुरू हुआ।)

222223333333

Comments

9901444133(एक 9 का विलोपन) अभाज्य नहीं है ( 7 x 1414492019)। आपका पिछला उदाहरण सही था, हालाँकि।

— प्रिमो

@primo धन्यवाद, निश्चित। वह मेरा एक अजीब टाइपो था।

— motl7

यदि कोई सबसे बड़ा है - जैसा कि विश्लेषण से संकेत मिलता है, मुझे आश्चर्य है कि जब आप सोचते हैं कि आप इसे पा चुके हैं तो आप एक प्रमाण के बारे में कैसे जा सकते हैं।

— gnibbler

अन्य ठिकानों का क्या? बेस 2 में, मुझे 11 (2r1011), बेस 3 (3r102) में 11, बेस 4 (4r1000000013) में 262151, बेस 5 (5r32) में 17, बेस 7 में 7 (7r52), 47 में 47 से अधिक कुछ भी नहीं मिला। आधार 9 (9r52) में।

— उर्फ.निसे

Answer 1

274 अंक

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111

यह खोजने में लगभग 20 घंटे का सीपीयू समय लगा, और सिद्ध होने के लिए प्रति मिनट लगभग 2 मिनट। इसके विपरीत, 84 अंकों का समाधान लगभग 3 मिनट में पाया जा सकता है।

84 अंक

444444444444444444444444444444444444444444444444441111111113333333333333333333333333

77777777999999999999999777777777 (32 अंक)
66666666666666622222222222222333 (32 अंक)
647777777777777777777777777 (27 अंक)
44444441333333333333 (20 अंक)
999996677777777777 (18 अंक)
167777777777777 (15 अंक)

मैं इस उपकरण की सलाह देता हूं यदि आप मौलिकता की पुष्टि करना चाहते हैं: डी। एल्परन का ईसीएम एप्लेट

इसके अलावा एक repdigit दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, जो बड़े मूल्यों को खोजने के लिए सबसे अधिक संभावना वाला दृष्टिकोण है। निम्नलिखित लिपि एल्गोरिथ्मिक रूप से अधिकांश नंबरों या ट्रंकेशनों को छोड़ देती है, जिसके परिणामस्वरूप 2, 3, 5 और अब 11 c / o पीटरटायलर का गुणक होगा (उनके योगदान ने दक्षता को लगभग 50% बढ़ा दिया)।

from my_math import is_prime

sets = [
 (set('147'), set('0147369'), set('1379')),
 (set('369'), set('147'), set('1379')),
 (set('369'), set('0369'), set('17')),
 (set('258'), set('0258369'), set('39')),
 (set('369'), set('258'), set('39'))]

div2or5 = set('024568')

for n in range(3, 100):
 for sa, sb, sc in sets:
  for a in sa:
   for b in sb-set([a]):
    bm1 = int(b in div2or5)
    for c in sc-set([b]):
     if int(a+b+c)%11 == 0: continue
     for na in xrange(1, n-1, 1+(n&1)):
      eb = n - na
      for nb in xrange(1, eb-bm1, 1+(~eb&1)):
       nc = eb - nb
       if not is_prime(long(a*(na-1) + b*nb + c*nc)):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*(nb-1) + c*nc)):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*nb + c*(nc-1))):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*nb + c*nc)):
        continue
       print a*na + b*nb + c*nc

my_math.pyयहां पाया जा सकता है: http://codepad.org/KtXsydxK
वैकल्पिक रूप से, आप gmpy.is_primeफ़ंक्शन का उपयोग भी कर सकते हैं : GMPY Project

प्रोफाइलिंग के परिणामस्वरूप कुछ छोटी गति में सुधार। चार उम्मीदवारों में से सबसे लंबे समय तक की गई जाँच को अंतिम रूप में xrangeबदल दिया जाता है range, और प्रकार की longजगह बदल दी intजाती है। intलगता है कि अनावश्यक ओवरहेड है अगर मूल्यांकन अभिव्यक्ति एक में परिणाम है long।

---

विभागीय नियम

बता दें कि N फॉर्म का एक पोस्टिवर पूर्णांक है a ... ab ... bc ... c , जहां a , b और c बार-बार अंक होते हैं।

2 और 5 तक
- द्वारा विभाज्यता से बचने के लिए 2 और 5 , सी सेट में नहीं हो सकता है [0, 2, 4, 5, 6, 8] । इसके अतिरिक्त, यदि b इस सेट का सदस्य है , तो c की लंबाई 2 से कम नहीं हो सकती है।

3 से
- यदि एन = 1 (मॉड 3) , तो एन में [1, 4, 7] में से कोई भी शामिल नहीं हो सकता है , क्योंकि इनमें से किसी को हटाने से 3 का बहु परिणाम होगा । इसी तरह N = 2 (mod 3) और [2, 5, 8] के लिए । यह कार्यान्वयन इसके थोड़ा कमजोर रूप का उपयोग करता है: यदि N में [1, 4, 7] में से एक है , तो इसमें कोई भी [2, 5, 8] और इसके विपरीत नहीं हो सकता है। इसके अतिरिक्त, N में केवल [0, 3, 6, 9] शामिल नहीं हो सकते हैं । यह काफी हद तक एक समकक्ष कथन है, लेकिन यह कुछ तुच्छ मामलों के लिए अनुमति देता है, उदाहरण के लिए ए , बी और सीप्रत्येक को 3 से अधिक बार दोहराया जा रहा है ।

11 तक
- पीटरटयलर नोटों के रूप में , यदि N फॉर्म aabbcc का है ... xxyyzz , अर्थात यह केवल कुछ ही बार दोहराए गए अंकों का है, यह 11 : a0b09 ... x0y0z द्वारा तुच्छ रूप से विभाज्य है । यह अवलोकन खोज स्थान का आधा भाग समाप्त कर देता है। यदि N विषम लंबाई का है, तो a , b और c की लंबाई भी विषम होनी चाहिए (75% खोज स्थान में कमी), और यदि N समान लंबाई का है, तो केवल a , b या c में से कोई भी हो सकता है लंबाई में (25% खोज स्थान में कमी)।
- अनुमान: यदि एबीसी 11 की एक बहु है , उदाहरण के लिए 407 , तो ए , बी और सी के सभी विषम दोहराव भी 11 के गुणक होंगे । यह 11 नियम द्वारा उपरोक्त विभाज्यता के दायरे से बाहर है ; वास्तव में, केवल विषम पुनरावृत्ति उन लोगों में से हैं जिन्हें स्पष्ट रूप से अनुमति दी जाती है। मेरे पास इसके लिए कोई प्रमाण नहीं है, लेकिन व्यवस्थित परीक्षण एक काउंटर-उदाहरण खोजने में असमर्थ था। तुलना करें: 444077777 , 44444000777 , 44444440000077777777777 , आदि। कोई भी इस अनुमान को गलत साबित करने या अस्वीकार करने के लिए स्वतंत्र महसूस कर सकता है। aditsu ने तब से इसे सही होने के लिए प्रदर्शित किया है।

---

अन्य रूप

दोहराए गए अंकों के 2 सेट
उस फॉर्म की संख्या जिसे रैंडम्रा पीछा कर रहा था, एक ... ab ... b , अधिक दुर्लभ प्रतीत होता है। 10 ¹⁷⁰⁰ से कम के केवल 7 समाधान हैं , जिनमें से सबसे बड़ी लंबाई 12 अंकों की है।

बार-बार अंकों के 4 सेट
इस फॉर्म की संख्या, a ... ab ... bc ... cd ... d , उन लोगों की तुलना में अधिक सघन रूप से वितरित होते हैं जिन्हें मैं खोज रहा था। दोहराए गए अंकों के 3 सेट का उपयोग करते हुए 32 की तुलना में 10 ¹⁰⁰ से कम 69 समाधान हैं । 10 से ¹¹ और 10 के बीच ¹⁰⁰ इस प्रकार हैं:

190000007777
700000011119
955666663333
47444444441111
66666622222399
280000000033333
1111333333334999
1111333333377779
1199999999900111
3355555666999999
2222233333000099
55555922222222233333
444444440004449999999
3366666633333333377777
3333333333999888883333
4441111113333333333311111
2222222293333333333333999999
999999999339999999977777777777
22222226666666222222222299999999
333333333333333333339944444444444999999999
559999999999933333333333339999999999999999
3333333333333333333111111111111666666666611111
11111111333330000000000000111111111111111111111
777777777770000000000000000000033333339999999999999999999999999
3333333333333333333333333333333333333333333333336666666977777777777777
666666666666666666611111113333337777777777777777777777777777777777777777
3333333333333333333888889999999999999999999999999999999999999999999999999933333333

इस मामले में ऐसा क्यों होना चाहिए, इसका एक सरल अनुमान तर्क है। प्रत्येक डिजिटल लंबाई के लिए, बार-बार सेट की एक संख्या होती है (अर्थात 3 दोहराया सेट, या 4 दोहराया सेट, आदि) जिसके लिए समाधान की अपेक्षित संख्या सबसे अधिक होगी। संक्रमण तब होता है जब अनुपात के रूप में लिए गए अतिरिक्त संभावित समाधानों की संख्या, इस संभावना को कम कर देती है कि अतिरिक्त संख्या की जाँच की जानी चाहिए। जांच करने की संभावनाओं की घातीय प्रकृति, और अभाज्य संख्या वितरण के लघुगणक प्रकृति को देखते हुए, यह अपेक्षाकृत जल्दी होता है।

यदि, उदाहरण के लिए, हम 300 अंकों का हल ढूंढना चाहते थे, तो दोहराए गए अंकों के 4 सेटों की जांच करने से 3 सेटों की तुलना में समाधान का उत्पादन करने की अधिक संभावना होगी, और 5 सेटों की अभी भी अधिक संभावना होगी। हालाँकि, मेरे पास जो कंप्यूटिंग शक्ति है, जो मेरे निपटान में है, 4 सेट के साथ 100 से अधिक अंकों का एक समाधान खोजना मेरी क्षमता से बाहर होगा, अकेले 5 या 6।

Comments

फॉर्म के किसी भी समाधान के लिए d^x e^y f^z11. से विभाज्यता से बचने के लिए अनुक्रम की लंबाई के कम से कम दो की आवश्यकता होती है। मुझे नहीं पता कि क्या is_primeयह स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं लेने योग्य बनाने के लिए 11 के गुणकों को अस्वीकार कर देगा।

— पीटर टेलर

मेरे सामने मेरे पास जीएमपी स्रोत नहीं है, लेकिन यह बहुत संभव है कि छोटे-छोटे अपराधों के लिए ट्रायल डिवीजन के साथ शुरू हो। फिर भी, (na&1)+(nb&1)+(nc&1) > 1काफी सरल है कि यह तेज होना चाहिए। एक मिनट रुकिए, यह छोटी-छोटी शाखाओं को पूरा कर सकता है! यदि naसम है, और nb + ncविषम है, तो [nb, nc]आवश्यक रूप से एक भी होना चाहिए, और आप बस अगले को छोड़ सकते हैं na।

— प्राइमो

यदि आप gmpy.is_prime () का उपयोग कर रहे हैं तो सावधान रहें। एक निश्चित बिंदु से परे यह संभाव्य है, इसलिए आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि यह रिटर्न देता है 2। 1इसका मतलब यह है कि यह केवल शायद एक प्रधानमंत्री है

— gnibbler

11 से विभाज्यता के लिए एक सीधा और सटीक परीक्षण सभी अंकों को सम पदों में जोड़ना है और सभी अंकों को विषम स्थितियों (या इसके विपरीत) में घटाया है और जांचना है कि क्या परिणाम 11 का गुणक है। एक कोरोलरी के रूप में (लेकिन यह भी हो सकता है) सीधे तौर पर घटाया गया), आप 2+ समान अंकों के सभी अनुक्रमों को 0 या 1 अंकों तक घटा सकते हैं (अनुक्रम लंबाई 2% लेते हुए)। 44444440000077777777777 इस प्रकार 407 तक कम हो जाता है; 4 + 7-0 = 11। 444444444444444444444444444444444444444444444444444444411111111133333333333333333333333 पर घटकर 13.

— aditsu

"मजबूत"! = सिद्ध। अंतर कुछ के लिए महत्वहीन है, दूसरों के लिए महत्वपूर्ण है। Mathematica में PrimeQ एक BPSW वैरिएंट है और बेस 3 के साथ एक अतिरिक्त एमआर है, तो निश्चित रूप से यह केवल एक दो मिलीसेकंड लेगा। Pari / GP एक 5 साल पुराने कंप्यूटर पर लगभग 3 सेकंड में APR-CL का उपयोग करके 274 अंकों की संख्या साबित करता है, और सिंगल-कोर ओपन सोर्स ECPP में लगभग 2 सेकंड लगते हैं। कोई आश्चर्य नहीं कि यह जावा के लिए अधिक समय लेता है, लेकिन यह कोई बड़ी बात नहीं है। मैं सभी 4 पर इस BPSW के अपने पर्ल अनुवाद था, तो सभी 4 पर एक सबूत केवल अगर वे सभी सस्ते परीक्षण पारित कर दिया।

— दनाज

Answer 2

222223333333 (12 अंक)

यहाँ मैंने केवल 100 अंकों के लिए aa..aabb..bb प्रारूप की खोज की। केवल अन्य हिट 23 37 53 73 113 311 हैं।

जे कोड (साफ किया गया) (क्षमा करें, कोई स्पष्टीकरण नहीं):

a=.>,{,~<>:i.100
b=.>,{,~<i.10
num=.".@(1&":)@#~
p=.(*/"1@:((1&p:)@num) (]-"1(0,=@i.@#)))"1 1
]res=./:~~.,b (p#num)"1 1/ a

Comments

1560 अंकों (और गिनती) तक इस फॉर्म की एक संपूर्ण खोज इस 12 अंकों के समाधान से बड़ा कुछ भी नहीं दिखाती है।

— प्रिमो

Answer 3

संपादित करें: किसी ने पहले से ही एक गहरा विश्लेषण किया था जितना मैंने यहां किया था।

समाधान नहीं बल्कि एन-डिजिट समाधानों की संख्या पर मोटा अनुमान।

जे कोड बनाना

   ops=: 'title ','Estimated number of solutions by digits',';xcaption ','digits',';ycaption ','log10 #'
   ops plot 10^.((%^.)%(2&(%~)@^.@(%&10))^(10&^.))(10&^(2+i.100))

Comments

धन्यवाद। Y अक्ष थोड़ा भ्रामक है। क्या आप वास्तव में 10 ^ -100 का मतलब लगभग 86 अंकों वाले समाधानों की अनुमानित संख्या के रूप में हैं?

— motl7

हाँ। अगर वहाँ समाधान की सीमित संख्या है यह विश्वासयोग्य है। यद्यपि मौजूदा आंकड़ों के आधार पर यह अनुमान थोड़ा हटकर है क्योंकि दोहराए गए अंक एक कम अंकों के साथ संख्याओं के बीच संबंध बनाते हैं।

— 17

किसी ने पहले से ही एक गहरा गहरा विश्लेषण किया था I

— यादृच्छिक संख्या 21'13

क्या y- अक्ष x अंकों के साथ संख्याओं का अनुपात है जो समाधान हैं? 10 ^ (# अंक) द्वारा विभाजित समाधानों की संख्या कितनी है? यह संख्या 4, 11 इत्यादि की तरह नहीं हो सकती है और इसका लॉग लगभग हमेशा 1. से ऊपर होता है

— motl7

Answer 4

जावास्क्रिप्ट (जानवर बल)

अभी तक उच्च संख्या नहीं मिली है

http://jsfiddle.net/79FDr/4/

एक बिगिंट लाइब्रेरी के बिना, जावास्क्रिप्ट पूर्णांक तक सीमित है <= 2^53।

चूंकि यह जावास्क्रिप्ट है, ब्राउज़र शिकायत करेगा कि क्या हम यूआई को अपडेट करने के लिए निष्पादन थ्रेड को जारी नहीं करते हैं, परिणामस्वरूप, मैंने यह ट्रैक करने का निर्णय लिया कि एल्गोरिथ्म यूआई में अपनी प्रगति में कहां है।

function isPrime(n){
    return n==2||(n>1&&n%2!=0&&(function(){
        for(var i=3,max=Math.sqrt(n);i<=max;i+=2)if(n%i==0)return false;
        return true;
    })());
};

var o=$("#o"), m=Math.pow(2,53),S=$("#s");

(function loop(n){
    var s = n.toString(),t,p=true,i=l=s.length,h={};
    if(isPrime(n)){
        while(--i){
            t=s.substring(0,i-1) + s.substring(i,l); // cut out a digit
            if(!h[t]){   // keep a hash of numbers tested so we don't end up testing 
                h[t]=1;  // the same number multiple times
                if(!isPrime(+t)){p=false;break;}
            }
        }
        if(p)
            o.append($("<span>"+n+"</span>"));
    }
    S.text(n);
    if(n+2 < m)setTimeout(function(){
        loop(n+2);
    },1);
})(99444901133);

Comments

@Schmiddty js के लिए बड़ी इंट लाइब्रेरियां हैं लेकिन यह ब्रूट फोर्स मेथड डूम लगता है।

— motl7

@ motl7 सहमत, इसे पूरी रात चलाना छोड़ दिया, और कोई जवाब नहीं मिला।

— श्मिट

Answer 5

समस्या के विश्लेषण के लिए एक लिंक पोस्ट किया गया था, लेकिन मुझे लगा कि यह कुछ चीजों को याद कर रहा है। आइए 1 या अधिक समान अंकों के k अनुक्रमों से मिलकर m अंकों की संख्या देखें। यह दिखाया गया था कि यदि हम अंकों को समूहों में विभाजित करते हैं {0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7}, और {2, 5, 8}, तो एक समाधान में दूसरे और तीसरे समूह दोनों से अंक नहीं हो सकते हैं। , और इसमें इनमें से एक समूह से 3n + 2 अंक होने चाहिए। कश्मीर अनुक्रमों में से कम से कम दो अंकों की एक विषम संख्या होनी चाहिए। अंकों में से {1, 4, 7} केवल 1 और 7 सबसे कम अंक हो सकते हैं। {2, 5, 8} में से कोई भी सबसे कम अंक नहीं हो सकता है। तो सबसे कम अंक के लिए या तो चार (1, 3, 7, 9) या दो (3, 9) विकल्प हैं।

कितने उम्मीदवार हैं? हमारे पास कम से कम 1 अंकों के k अनुक्रमों में विभाजित किए गए एम अंक हैं। इन क्रमों की लंबाई चुनने के लिए (m - k + 1) ओवर (k - 1) तरीके हैं, जो लगभग (m - 1.5k + 2) ^ (k - 1) / (k - 1) है। सबसे कम अंक के लिए या तो 2 या 4 विकल्प हैं, कुल मिलाकर छह। अन्य अंकों के लिए छह विकल्प हैं, उच्चतम अंक के लिए 36/7 विकल्प को छोड़कर; कुल (6/7) * 6 ^ k है। यह चुनने के लिए 2 ^ के तरीके हैं कि क्या किसी अनुक्रम की लंबाई सम या विषम है; इनमें से k + 1 को बाहर रखा गया है क्योंकि कोई भी या केवल एक विषम नहीं है; हम विकल्पों की संख्या को (1 - (k + 1) / 2 ^ k) से गुणा करते हैं, जो 1/4 है जब k = 2, 1/2 जब k = 3, 11/16, जब k = 4 आदि। सेट {1, 4, 7} या {2, 5, 8} के अंकों का 3n + 2 होना चाहिए, इसलिए विकल्पों की संख्या 3 से विभाजित होती है।

इन सभी नंबरों को गुणा करते हुए, उम्मीदवारों की संख्या है

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (6/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k) / 3

या

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (2/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k)

अभ्यर्थी स्वयं और k अंक जो एक अंक को हटाकर बनाए जाते हैं, सभी होने चाहिए। संभावना है कि N के चारों ओर एक यादृच्छिक पूर्णांक अभाज्य है, लगभग 1 / ln N है। यादृच्छिक m अंकीय संख्या के लिए प्रायिकता लगभग 1 / (m ln 10) है। हालांकि, यहां संख्या यादृच्छिक नहीं है। वे सभी को 2, 3, या 5 से विभाज्य नहीं होने के लिए चुना गया है। किसी भी 30 लगातार पूर्णांकों में से 8 2, 3 या 5 से विभाज्य नहीं हैं। इसलिए, अभाज्य होने की संभावना है (30/8) / (m ln 10) या लगभग 1.6286 / मी।

समाधानों की अपेक्षित संख्या लगभग है

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (2/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k) * (1.6286 / m)^(k + 1)

या बड़े एम के बारे में

(1 - (1.5k - 2) / m)^(k - 1) / (k - 1)! * 0.465 * 9.772^k * (1 - (k + 1) / 2^k) / m^2

K = 2, 3, 4 के लिए, ... हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

k = 2: 11.1 * (1 - 1/m) / m^2
k = 3: 108 * (1 - 2.5/m)^2 / m^2 
k = 4: 486 * (1 - 4/m)^3 / m^2


k = 10: 10,065 * (1 - 13/m)^9 / m^2

K = 10 आगे से, संख्या फिर से छोटी हो जाती है।

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PPCG में आपका स्वागत है! यह एक उत्कृष्ट विश्लेषण है; हालाँकि, हम प्रश्न के लिए उचित प्रतिक्रियाओं के जवाब तलाशते हैं। दूसरे शब्दों में, कोड। दुर्भाग्य से, यह टिप्पणी-केवल पोस्ट के लिए हमारी संरचना में जगह छोड़ देता है, जो पोस्ट टिप्पणियों के लिए फिर से आरोपित हैं। हालाँकि, मैं इस तरह के एक गहन प्रयास को देखने के लिए नफरत करूंगा ताकि हमारे स्लश ढेर को फिर से लगाया जा सके, इसलिए मैं यह संकेत देना चाहूंगा कि यदि आपने अपने पद के लिए चुनौती की आवश्यकताओं का जवाब देने के लिए डिज़ाइन किया गया एक कंप्यूटर प्रोग्राम जोड़ा है, तो इसे रखा जाना अधिक संभावना है। चारों ओर।

— जोनाथन वान मैट्रे

इसके अलावा, मैं आपको हमारी बहन साइटों की दृढ़ता से जांच करने की सलाह देता हूं: math.stackexchange.com और mathoverflow.net

— जोनाथन वान