संपादित करें: यह काम नहीं करता क्योंकि मैं खोजे गए चेकों के बारे में भूल गया था। हालांकि, मुझे लगता है कि यह प्रगति उल्लेखनीय है, इसलिए मैं यहां जवाब छोड़ दूंगा।
पुनरुक्ति असंभव है।
सबसे पहले, वहाँ स्पष्ट रूप से किसी भी मोहरे चाल, ढलाई या कब्जा नहीं हो सकता।
इसके बाद, मेरा दावा है कि कोई भी राजा नहीं चल सकता है। यह साबित करने के लिए, ध्यान दें कि किंग मूव तभी चेक दे सकता है जब वह खोजा हुआ चेक हो। इसलिए, चेक देने के लिए एक राजा के कदम के लिए, दो राजाओं को एक पंक्ति में होना चाहिए, चाहे ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या विकर्ण। राजाओं में से एक की स्थिति को देखते हुए, दूसरे राजा के वर्गों का सेट इतना हो सकता है कि वह चेक दे सकता है राजा के साथ एक ही पंक्ति में वर्गों का सेट है और राजा या वर्ग के समान वर्ग नहीं है। वह वर्ग। इन चौकों में से कोई भी समीप नहीं है, इसलिए राजा ऐसे एक वर्ग से दूसरे चाल में नहीं जा सकता। ध्यान दें कि वर्ग ए और बी एक पंक्ति में हैं यदि और केवल यदि वर्ग बी और ए एक पंक्ति में हैं, तो एक बार राजाओं के चलने के बाद, वे एक पंक्ति में नहीं रह जाते हैं, इसलिए आगे कोई राजा चाल नहीं दे सकता है। इसलिए, चक्र में अधिकतम एक राजा है,
इसलिए, कोई भी नाइट चेक नहीं हो सकता है, अन्यथा राजा को स्थानांतरित करना होगा या नाइट को पकड़ना होगा।
इसलिए, सभी चालें टुकड़ों द्वारा चलती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें सभी पिछले चेक को ब्लॉक करना होगा।
चेसबोर्ड के वर्गों के सेट पर किसी भी मीट्रिक के लिए, मान लीजिए कि राजा K1 और K2 और किसी भी वर्ग A के लिए पदों के किसी भी सेट के लिए यह सत्य है, जो राजा के साथ कुछ लाइन (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या विकर्ण) में है, कोई भी अवरुद्ध वर्ग B, राजाओं के वर्ग के प्रत्येक (यानी, d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2) से दूरी का योग नहीं बढ़ा सकता है ))। फिर राजाओं के प्रत्येक वर्ग के लिए दूरी का योग पूरे चक्र में स्थिर रहना चाहिए।
यह जांचना आसान है कि निम्नलिखित मीट्रिक उस संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: d (A, B) = | row (A) -row (B) d (A, B) = | कॉलम (A) -column (B) | d (A, B) = | slope1diagonal (A) -slope1diagonal (B) | (इससे मेरा अर्थ संख्या 1-15 से A1H8 विकर्ण के समानांतर वाले विकर्णों से है) d (A, B) = | ढलान -1diagonal (A) -slope-1diagonal (B) | (पिछले के समान, लेकिन अन्य विकर्ण के समानांतर)
वास्तव में, यह देखना आसान है कि उपरोक्त किसी भी मैट्रिक्स के लिए, यदि अवरुद्ध वर्ग उन मैट्रिक्स की दो समानांतर रेखाओं के भीतर नहीं है (उदाहरण के लिए पहली मीट्रिक के लिए, आयत के भीतर प्रत्येक पक्ष की पंक्तियों द्वारा बनाई गई भुजाओं के साथ राजा, और बोर्ड के किनारों को स्तंभित करते हैं), फिर अगले अवरोधक वर्ग के साथ दूरियों का योग घट जाएगा। जो कि एक विरोधाभास होगा, इसलिए अवरोधक वर्ग को बाउंडिंग समानांतर लाइनों में से प्रत्येक के भीतर होना प्रतिबंधित है।
यदि दो राजा एक ही पंक्ति, स्तंभ या विकर्ण पर हैं, तो ऊपर दिए गए पैराग्राफ से तर्क का उपयोग करके पता चलता है कि सभी अवरुद्ध वर्ग उस पंक्ति, स्तंभ या विकर्ण में स्पष्ट रूप से असंभव होना चाहिए।
इसलिए, यदि हम राजा के पदों को बोर्ड के दोनों किनारों के समानांतर वाले आयत के दो विपरीत छोरों के रूप में देखते हैं, तो पहले दो मैट्रिक्स का उपयोग करके, सभी अवरुद्ध वर्ग को आयत या बाउंडिंग आयत पर होना चाहिए। अन्य दो मैट्रिक्स का उपयोग करने से हम इसे एक बाउंडिंग समांतर चतुर्भुज में सिकोड़ सकते हैं।
ध्यान दें कि एकमात्र संभव अवरोधक वर्ग वे हैं जो राजाओं के प्रत्येक वर्ग के माध्यम से पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों के चौराहों हैं क्योंकि उन्हें दूसरे राजा को चेक देना चाहिए और एक चेक को ब्लॉक करना होगा। यह देखना आसान है कि सीमा समांतर चतुर्भुज में हमेशा 2 संभव अवरोधक वर्ग होते हैं: समांतर चतुर्भुज के अन्य दो कोने। लेकिन फिर, अगर हमारे पास प्रत्येक में एक चेकिंग पीस है (जो आवश्यक है), तो चेक, विरोधाभास देने के लिए उनके पास जाने के लिए कोई वर्ग नहीं हैं।