मुझे पता है कि बिशप और नाइट के साथ एंडगेम कैसे जीतना है, लेकिन यह एक फिसलन प्रक्रिया है और लगता है कि बमुश्किल एक जीत है, दुश्मन राजा बहुत भागने के साथ। इस कारण से, मैं अन्य बोर्ड आकारों पर एंडगेम के बारे में उत्सुक हूं और अगर यह अभी भी एक एमएनएन बोर्ड के सामान्य मामले में संभव होगा। उदाहरण के लिए:
मान लें कि 50 चाल नियम लागू नहीं होता है।
जवाबों:
दरअसल, बिशप और नाइट मेट उतने खिसके नहीं हैं, जितने दिखाई देते हैं। मैंने यह एक टेबलबेस प्रोग्राम पर लिखा है जिसे मैंने लिखा है। 10x10 बोर्ड पर, बिशप और नाइट (सफेद कहते हैं) के साथ पक्ष सबसे अधिक 47 चालों में साथी को मजबूर कर सकता है। सफेद भी 16x16 बोर्ड पर दोस्त को सबसे अधिक 93 चालों में मजबूर कर सकता है। मेरा मानना है कि मेट को मनमाने ढंग से बड़े आकार के बोर्ड पर भी मजबूर किया जा सकता है।
सबसे पहले, एक विषम आकार के बोर्ड पर, मैंने पुष्टि की है कि सफेद मेट को मजबूर नहीं कर सकता है यदि बिशप गलत रंग पर है। मेट को केवल एक अच्छे कोने में (जिसे बिशप नियंत्रित करता है) मजबूर किया जा सकता है, इसलिए यदि कोई अच्छा कोना नहीं है, तो मेट को मजबूर नहीं किया जा सकता है।
10x10 बोर्ड पर, 47 में निम्नलिखित एक इष्टतम दोस्त है। शुरुआती स्थिति W: Ka1, Nb1, Bc1 है; बी: केसी २। 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke5 Kg4 10.Ke5 Kg4 10.Ke5 11. Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13। Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 253 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 371 Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 / Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #
23. एनएफ 2 के बाद, हमारे पास एंड्रयू के जवाब में दिखाए गए एक की तरह एक स्थिति है (लेकिन उल्टा: डब्ल्यू: केजी 3, बीजे 2, एनएफ 2; बी: के 2)। यदि हम a और b कॉलम (और पंक्तियाँ 9 और 10) को हटाकर इस बोर्ड को 8x8 बनाते हैं, तो यह 14 में मेट होगा, लेकिन यहाँ यह 25 में मेट है। ऊपर की लाइन में, काला राजा वास्तव में कभी भी भागने की कोशिश नहीं करता है। ए 10 कोने। मान लीजिए कि वह 23 के साथ करता है । ... Kd2 24. Bf6 Kc2 । यह चाल निरंतरता 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka5 31.Kc6 के साथ, एक कदम से साथी को छोटा करती है ।
काला राजा केवल a6 तक ही बच सकता है, और अंततः अच्छे a1 कोने में अभी भी फंसा हुआ है। इस निरंतरता का शेष भाग 31 है । ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41। Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #
यहां 4 से 16 तक हर आकार के बोर्ड पर मेट को मजबूर करने के लिए चाल की संख्या है। 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. ध्यान दें कि किसी भी आकार के बोर्ड पर कुछ ऐसी स्थिति होती है जो खींची जाती है क्योंकि काला एक टुकड़ा तुरंत जीत सकता है।
निम्नलिखित 16x16 बोर्ड पर 92 में एक इष्टतम दोस्त है। प्रारंभिक स्थिति फिर से W: Ka1, Nb1, Bc1 है; बी: केसी २।1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf8 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13। Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 KeK 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.d13 और 24 Kd9। 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 16/16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37/ND13 Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka13 49.N12 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59 .Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 +99। Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.N7Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.KD4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82. 82 82 82 83.N66 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kc3 K1 1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #
यह लंबा है, लेकिन इसके माध्यम से खेलना निश्चित रूप से मुझे समझाने में मदद करता है कि सफेद एक मनमाने ढंग से बड़े बोर्ड पर दोस्त को मजबूर कर सकता है। पहले चरण में, श्वेत राजा और बिशप काले राजा को प्रलोभन दे सकते हैं जबकि सफेद शूरवीर को पकड़ने के लिए टेंपी खरीदते हैं। एक बार जब काला राजा बुरे कोने में फंस जाता है (इस मामले में a16), यह बहुत कम सांस लेने वाले कमरे के साथ फाइल को नीचे कर दिया जाता है। यद्यपि प्रक्रिया डब्ल्यू पैंतरेबाज़ी की तुलना में काफी अधिक जटिल है, सफेद हमेशा पूर्ण नियंत्रण में दिखाई देता है।
7x7 प्रश्न के साथ शुरू करते हैं:
क्या board गलत ’रंग के बिशप के साथ, 7x7 बोर्ड पर एक मजबूर जीत है?
यह दो सवालों के जवाब देने में आसान लगता है। सबसे पहले, अपने आप को समझाएं कि यह एकमात्र संभोग पैटर्न है (काले राजा तुरंत अपनी बाईं ओर अंधेरे वर्ग पर भी हो सकते हैं):
मुख्य बिंदु यह है कि सफेद के लिए इस स्थिति को मजबूर करना संभव नहीं है। ब्लैक के राजा को पिछले कदम पर गतिरोध किया गया था। वैकल्पिक रूप से, यदि काले रंग के राजा को एक वर्ग बाईं ओर ले जाया जाता है, तो केवल कानूनी चाल जो कि सफेद हो सकती है, उस विकर्ण पर बिशप को स्थानांतरित करने के लिए होगी, साथी को वितरित करना। यदि ऐसा होता, तो उससे पहले काला राजा कहां था? यह f2 (बाईं ओर दो, एक ऊपर) पर होता। इसलिए काले को कोने में जाने के लिए मजबूर नहीं किया गया और इसके बजाय साथी से बचा जा सकता था। निष्कर्ष निकालने के लिए, गलत कोने में दोस्त को मजबूर करने का कोई तरीका नहीं है, बोर्ड को छोटा करना इस तथ्य को नहीं बदलता है।
अब पहला सवाल:
क्या 10x10 बोर्ड पर एक मजबूर जीत है?
इस मामले में, सफेद का एक उचित कोना होगा, लेकिन मान लें कि सफेद काले राजा को गलत कोने में ले जाने के लिए मजबूर कर सकता है। मानक 8x8 बोर्ड पर, सफेद को राजा को संभोग के कोने तक राजा को ले जाने की प्रक्रिया में कुछ चालों के लिए छोड़ना पड़ता है ( पूर्ण ट्यूटोरियल के लिए विकिपीडिया देखें )। यहाँ सामान्य स्थिति है जब काली धार (अस्थायी रूप से) निकलती है:
ब्लैक आमतौर पर खेलता है ...Kc6और बाद Bd3!में राजा के पास कोई बच नहीं जाता है। 10x10 के बोर्ड पर, हालांकि, ब्लैक ...Kb7उसके बाद ...Ka7और अंत में ...Kz6(लेफ्ट "z" के लिए पहली फाइल को कॉल कर सकता है)। श्वेत राजा को बांधने से रोकने में मदद करने के लिए व्हाइट के पास राजा और शूरवीर होने का कोई रास्ता नहीं है। तो फिर, यह एक अच्छी बात है कि बोर्ड केवल 8x8 है अन्यथा बिशप और नाइट राजा को संभोग करने के लिए कभी नहीं मिलेगा!
डिस्क्लेमर: मैंने टेबलबेस के साथ अपने किसी भी दावे को साबित नहीं किया है
स्पष्ट रूप से किसी भी बोर्ड पर कई मजबूर जीत हैं जहां एम और एन कम से कम 8 (एम या एन या दोनों अनंत सहित) हैं, जब तक कि बिशप के वर्ग के समान रंग का एक कोने है।
यदि टुकड़े पीले रंग के टिंटेड उप-बोर्ड में हैं और काला राजा d10-j4-j10 त्रिकोण से बच नहीं सकता है, तो स्थिति पूर्ण बोर्ड पर भी जीती जाती है, क्योंकि इस तरह के पद उस उप पर जीते जा सकते हैं (जानबूझकर) काले राजा को त्रिकोण से बचने के बिना बोर्ड। इसी तरह हरे उप-बोर्ड के लिए। MxN बोर्ड पर भी यही लागू होता है।
लेकिन जीते हुए पद ऐसे पदों तक ही सीमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, दिखाई गई स्थिति में, व्हाइट किसी भी ब्लैक डिफेंस के खिलाफ सबसे अधिक 33 चालों में संभोग कर सकता है। बेशक, समान पदों का एक महत्वपूर्ण प्रतिशत है।
यदि M और या N बहुत छोटे हैं तो अनिवार्य रूप से जीत हासिल नहीं होती है। उदाहरण के लिए 1xN बोर्ड पर कोई भी चेकमेट स्थिति नहीं है।
कड़ाई से बोलने वाले भी अपेक्षाकृत कम संख्या में जीत हासिल करते हैं (पर्याप्त रूप से बड़े, यानी M, N> 2, M + N> 6) बोर्ड, जिनमें बिशप के वर्ग के समान रंग का कोई कोना शामिल नहीं है, लेकिन एक कोने में शामिल हैं विपरीत रंग। इसमें "गलत" रंगीन कोनों के साथ 7x7 बोर्ड शामिल हैं जिनके बारे में आप पूछते हैं। यह किसी भी बोर्ड के "गलत" कोने में भी संभव है जिसमें ऐसा कोई कोने शामिल है। जैसे एक 8x8 बोर्ड पर:
1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #
एक बोर्ड पर कोई जीत नहीं होती है जिसमें कोई कोना शामिल नहीं होता है, यानी जहां एक या दोनों पक्ष अनिश्चित रूप से दोनों दिशाओं में विस्तारित होते हैं।
बोर्ड के किसी भी आकार पर स्थितियां हैं (यह बोर्डों पर सामान्य मामला है जिसमें बिशप के वर्ग के समान रंग का कोई कोने नहीं है और बोर्डों पर जहां एम या एन दोनों एक बहुत छोटे हैं और, मेरा मानना है कि बोर्डों पर जहां M और N दोनों बड़े हैं), एक 8x8 बोर्ड पर एक उदाहरण:
1 ... केएफ 3 आदि।
ड्रॉ पोजीशन मानक बोर्ड (नलिमोव ईजीटीबी के अनुसार सभी पदों के 10% से कम) पर अपवाद हैं।
लेकिन मेरा मानना है कि 10x10 के बोर्ड में पुनरावृत्ति द्वारा भी ड्रॉ होता है, जहां अकेला राजा एक टुकड़े पर कब्जा करने के लिए मजबूर नहीं कर सकता है, लेकिन टुकड़ों के साथ पक्ष भी साथी को मजबूर नहीं कर सकता है। मुझे लगता है कि यह बड़े एम और एन के लिए सामान्य मामला बन जाता है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से विषम एम और एन के लिए "गलत" रंग का बिशप है।
जब तक बोर्ड में बिशप के वर्ग के समान रंग का एक कोना होता है और M या N 8 या उससे कम रहता है (लेकिन बहुत छोटा नहीं है ) , तब भी साथी दूसरे के बड़े मूल्यों और (कुछ हद तक अप्रासंगिक) के लिए आम तौर पर जबरन रहेगा। दूसरे के अनंत मूल्य के लिए नहीं के रूप में कई पदों में।
संपादित करें:
DanStronger की पोस्ट पढ़ने के बाद मुझे लगता है कि बड़े बोर्डों पर पुनरावृत्ति द्वारा ड्रॉ पर मेरी टिप्पणियां गलत हैं। ये एक 45 साल पुराने विश्लेषण पर आधारित थे, जिसे मैंने पहली बार समाप्त होने पर खेलना सीखा था (जिसका विवरण अब धुंधला है) लेकिन मुझे लगता है कि विश्लेषण त्रुटिपूर्ण था। उस स्थिति में ड्रा का प्रतिशत वास्तव में कम होना चाहिए क्योंकि बोर्ड का आकार बढ़ता है।
मुझे लगता है कि हम सबसे बड़ा भेद यह कर सकते हैं कि राजा को संभोग करने के लिए कितने कदम उठाने होंगे। ऊपर बहुत सारे सबूत हैं जो यह साबित करते हैं कि लगभग असीम रूप से बढ़ते हुए बोर्ड पर संभोग करना संभव है (यह मानते हुए कि यह एक वर्ग है जो आयताकार नहीं है (इसके लिए मुझे कोई पता नहीं है)) एक टूर्नामेंट में जरूरतमंदों को लंबे समय तक रोकने के लिए 50 चाल का नियम है खेल। 50 कदमों के दायरे में 8x8 बोर्ड पर इस परिदृश्य के साथ संभोग करना संभव है लेकिन त्रुटि के लिए बहुत कम जगह है। जितना बड़ा बोर्ड, उतनी अधिक जगह आपको किंग को कोने में रखने की जरूरत है, जिसके परिणामस्वरूप 90+ चाल साथी होते हैं।
संक्षेप में, जब तक बोर्ड वर्गाकार (लंबाई = चौड़ाई) है तब तक केबीएन बनाम के मेट प्राप्त करने योग्य है। अगर बोर्ड आयताकार है तो मैं जवाब नहीं दे सकता, कोई और यह जवाब दे सकता है कि अगर वे चाहते हैं या आप सवाल संपादित कर सकते हैं!