ऐसे कितने पद हैं? (शतरंज / गणित की जाँच करने वाला पहेली)

Question

मुझे इस तरह की स्थिति में दिलचस्पी है:

बोर्ड पर केवल 4 टुकड़े हैं। यदि गोरे पहले जाते हैं, तो वे एक चाल में चेकमेट कर सकते हैं। यदि अश्वेत पहले जाते हैं, तो वे एक चाल में जाँच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

सवाल यह है कि ऐसे कितने पद हैं?

मुझे 3 मुख्य पद मिले:

उनमें से प्रत्येक हमें एक और 6 स्थान देता है। हम काली रानी की शुरुआती स्थिति को 6 अन्य 6 वर्गों में स्थानांतरित कर सकते हैं। इसलिए हमारे पास 21 बुनियादी पद हैं।

क्या अन्य बुनियादी पद हैं?

प्रत्येक मूल स्थिति के लिए हम कर सकते हैं:

1) स्विच रंग x2

2) बोर्ड को घुमाएं x4

3) दर्पण स्थिति x2

तो एक मूल स्थिति 2x4x2 = 16 स्थिति उत्पन्न करती है। और अंतिम उत्तर है: ऐसे 16x21 = 336 पद हैं।

क्या यह सही है?

Answer 1

आपकी दूसरी मूल स्थिति आपके द्वारा पहले से दिए गए 4 से अधिक प्रकारों के लिए अनुमति देती है, जो निम्नलिखित चित्र द्वारा दिए गए हैं:

एनएन - एनएन

यह "मूल पदों" के लिए 25 तक टैली लाता है। क्या इसके अलावा यह सूची पूरी तरह से समाप्त हो जाती है या नहीं मैं पूरी तरह से निश्चित नहीं हूं (हालांकि मुझे लगता है कि यह करता है)।

किसी भी मामले में, जो भी बुनियादी पदों की संख्या है, वहां से पदों की कुल संख्या का आपका एक्सट्रपलेशन (रंग स्विच के लिए x2 और बोर्ड के परिवर्तनों के लिए x8) सही है क्योंकि शतरंज के समरूपता समूह वास्तव में आदेश 8 का आदेश देता है , उदाहरण के लिए, बाधा प्रोग्रामिंग की हैंडबुक से इस अध्याय के p.334 पर पुष्टि की गई है । (किसी को यहां पर ओवरकाउंटिंग के बारे में सावधान रहने की आवश्यकता है, हालांकि, नीचे देखें।) तो फिलहाल मुझे अनुमान है कि उत्तर 25 x 16 = 400 है।

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मैं इस गणितीय विषयांतर को जोड़ रहा हूं क्योंकि मैं आपके प्रोफाइल से देखता हूं कि आप गणित के आगे के अध्ययन को आगे बढ़ाने में रुचि रखते हैं। मैं यहाँ कुछ भी नहीं कह रहा हूँ जिसे आप पहले से जानते नहीं हैं, लेकिन यहाँ वैसे भी जाता है।

ध्यान दें कि कुछ शतरंज के पद हैं जो बोर्ड के विभिन्न समरूपताओं के तहत समान आएंगे। उदाहरण के लिए, a1-h8 विकर्ण के आर-पार प्रतिबिंबित करने के कार्य पर विचार करें। बोर्ड की वह समरूपता आम तौर पर किसी दिए गए स्थान को बदल देगी, जैसे

हो जाता है

लेकिन निश्चित रूप से कुछ पदों (अर्थात् उन है कि केवल a1-h8 विकर्ण पर टुकड़े हैं) उस समरूपता के तहत नहीं बदलते हैं, जैसे स्थिति

जब हम उस विकर्ण को प्रतिबिंबित करते हैं तो अपरिवर्तित रहता है।

इस तरह के व्यवहार के कारण, किसी को इस तरह की गिनती की समस्या में आगे निकलने के लिए आम तौर पर सावधान रहने की आवश्यकता होती है। आपकी समस्या के लिए, इसका अर्थ है कि आपका कोई भी मूल स्थान किसी भी (गैर-पहचान) समरूपता के तहत खुद को नहीं दोहराता है, ताकि मूल पदों की संख्या से कुल पदों की संख्या प्राप्त करते समय हमारा "x 16" न हो। overcounting। वर्तमान स्थिति में, आपकी मूल स्थितियाँ इतनी जटिल / असममित हैं कि यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि उनमें से कोई भी इन समरूपताओं के तहत दोहराया नहीं जाएगा, इसलिए चिंता करने की कोई बात नहीं है, लेकिन गणित में अक्सर ऐसा होता है जब चीजें "सहज रूप से स्पष्ट" होती हैं, जिसकी किसी को आवश्यकता होती है गलतियों के बारे में सबसे अधिक चिंतित होना। (वास्तव में, एक कहावत है कि यदि आप गणितीय प्रमाण में त्रुटियां ढूंढना चाहते हैं, तो कहीं से भी शुरू करें, यह कहता है, "यह स्पष्ट है ...")

Comments

मैंने कंप्यूटर खोज से पुष्टि की है कि ये 400 ऐसे ही पद हैं KkQq, और हाथ से मुझे कोई "मुश्किल" तरीके (जैसे शामिल KkPqया KkNq) नहीं दिखाई देते हैं , इसलिए, मैं भी, उपरोक्त समाधान को पूरा करने और उत्तर देने के बारे में सोचता हूं "बिल्कुल 400" है।

— क्क्सप्लसोन