मैं दांतों की संख्या से एक श्रृंखला के व्यास की गणना कैसे करूं?

Question

बस एक श्रृंखला पर दांतों की संख्या जानने से हम एक सटीक व्यास निर्धारित कर सकते हैं?

Comments

मूल रूप से अलग-अलग व्यास (दांत, आधार, या जहां श्रृंखला वास्तव में बैठती है) के टिप्स के साथ 3 सर्कल हैं - आप किसे चाहते हैं? आपको किस चीज के लिए व्यास की आवश्यकता है?

— फ्रीहाईट

यहाँ सुंदर जवाब, लेकिन व्यास एक वृत्त की त्रिज्या से दोगुना नहीं है?

— jackJoe

@jackJoe हाँ, लेकिन यह उपयोगी नहीं है क्योंकि आप त्रिज्या को नहीं जानते हैं, या तो।

— Freiheit

@ जैकजोई: यह है। लेकिन हमारे पास ओपी के अनुसार दांतों की संख्या के अलावा कोई जानकारी नहीं है।

— ज़ेनबाइक

डॉग कान: कृपया Math.Stackexchange.com पर सवाल देखें। यह मुद्दे की कहीं अधिक जटिल और अधिक गहन परीक्षा है। इस पृष्ठ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप @ लैंटियस का उत्तर चुनें। मेरा अधिकांश उद्देश्यों के लिए अच्छा है, और व्यावहारिक है। यह सामान्य माप उपकरणों की त्रुटि के दायरे में आएगा। यह पूरी तरह से सही नहीं है, और लैंटियस के उत्तर बेटर्स हैं।

— zenbike 15

Answer 1

एक श्रृंखला एक एन-साइडेड नियमित बहुभुज है जहां n दांतों की संख्या है। बहुभुज की साइड लंबाई एस प्रत्येक चेनिंग टूथ के टिप-टू-टिप से दूरी है।

एक नियमित बहुभुज के त्रिज्या का सूत्र है:

_{(स्रोत: mathopenref.com )}

ज़ेनबाइक के 12.75 मिमी से ऊपर के एस का उपयोग करते हुए , हमें त्रिज्या के लिए 107.61, या व्यास के लिए 215.22 मिमी मिलता है, जो उसके सन्निकटन के बहुत करीब है।

दो फॉर्मूलों की तुलना करने से पता चलता है कि उम्मीद के मुताबिक अवधि को समाप्त किया जा सकता है। यह हमें छोड़ देता है:

1 / sin ( pi / n ) बनाम n / pi

बड़े एन के लिए , वे शब्द सम्‍मिलित करते हैं, जब n = 53 होता है तो केवल .12 मिमी की त्रुटि का परिचय देते हैं । यह थोड़ा बड़ा है क्योंकि n छोटा हो जाता है, n = 11 के लिए .64 मिमी से भिन्न होता है।

सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, मैं सिर्फ s * n / pi का उपयोग करूंगा , यहां तक ​​कि सबसे छोटे कोग के लिए भी आप इसे एक मिलीमीटर के भीतर रखेंगे।

Comments

मुझे यहां गणित में दिलचस्पी है। क्या आप (गणित वर्ग में कम समय वाले लोगों के लिए) प्रत्येक चर का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं? मुझे लगता है कि मैं आपका अनुसरण कर रहा हूं, लेकिन मैं निश्चित नहीं हूं। S * n / pi फॉर्मूला वही है जो मैं कर रहा हूं, सही है? छोटी संख्या के लिए अशुद्धि कहाँ से आती है? (मान लें कि मैं आपका अनुसरण कर रहा हूं और चर सही हैं।)

— zenbike

क्या यह वर्णित चाप के बजाय दांतों के बीच की सीधी रेखा है?

— ज़ेनबाइक

यह एक सीधी रेखा है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास आठ दांतों (वर्टिकल) के साथ एक असंभव-छोटी श्रृंखला थी, तो आप इसके साथ एक साफ दिखने वाले अष्टकोण का पता लगा सकते थे। जैसा कि आपने अधिग्रहित किया है, उस अष्टकोना के किनारों के साथ सीधी-रेखा की दूरी को मापना और गुणा करना अतिरिक्त दूरी को याद कर रहा है कि एक चाप उन बिंदुओं के बीच में मुड़ा होगा, इसलिए आपकी कुल परिधि बस थोड़ी ही दूर निकलती है। जैसे-जैसे आपके अंक एक साथ पास होते हैं, अंतर छोटा होता जाता है - एक लाख छोटे पक्षों वाला एक बहुभुज एक सर्कल से लगभग अप्रभेद्य होने वाला है।

— लैंटियस 9

यही लगा। स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। तो आप माप में लापता चाप के लिए कैसे अनुकूल हैं?

— ज़ेनबाइक

प्रारूप को पचाने के लिए एक ही गणित थोड़ा आसान है crd (थीटा) फ़ंक्शन en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - यह त्रिज्या की लंबाई (इस मामले में चेन पिच) से संबंधित है और कोण। यहां अनुकूलित, 12.7 मिमी = आर सीआरडी (360 / एन) = 2 * आर * पाप (180 / एन); इसलिए r = 6.35 / sin (180 / n) मिमी। हमें यहां पर TeX की जरूरत है।

— एह्रीक

Answer 2

यदि आप केवल श्रृंखला की पिच (अधिकांश साइकिलों के लिए मानक) और दांतों की संख्या जानते हैं, तो आप केवल पिन केंद्रों के माध्यम से सर्कल (और एन-गॉन) का पूरी तरह से वर्णन कर सकते हैं । मैं पाठ के साथ गणित के सूत्रों को पढ़ने योग्य तरीके से करने की पूरी कोशिश करूंगा, लेकिन मैं चार हलकों / n-gons में से प्रत्येक का पूरी तरह से वर्णन करूंगा:

करते हैं:

n = दांतों की संख्या

एल = चेन पिच (लिंक लंबाई) (अधिकांश साइकिलों के लिए 12.7 मिमी)

घाटी, रोलर शीर्ष, और दांत शीर्ष माप के लिए नीचे देखें। ध्यान दें कि दांत के शीर्ष निर्माताओं के बीच भिन्न हो सकते हैं और अंगूठी के पूरे जीवन में भिन्न होंगे । तल पर वैकल्पिक विधि संभवत: फ़्रेम निकासी के लिए उपयोग करने का सबसे आसान तरीका है।

चूंकि आप जानते हैं कि श्रृंखला की पिच (1/2 "या 12.7 मिमी एक 40 श्रृंखला श्रृंखला है जिसे आमतौर पर साइकिल पर इस्तेमाल किया जाता है), श्रृंखला-पिन एक नियमित रूप से एन-गॉन (समान लंबाई के एन-पक्षों के साथ बहुभुज) बनाएंगे , प्रत्येक पक्ष 12.7 मिमी के बराबर होने के साथ। इस n-gon की परिधि के लिए सूत्र सरल (नीचे) है और अधिकांश सन्निकटन के लिए ठीक होगा। ध्यान दें कि यह श्रृंखला की लंबाई के बराबर भी है जो चारों ओर लपेटी जाएगी। रिंग (श्रृंखला n-gon का अनुसरण करेगी, न कि वृत्त)।

पिन केंद्रों द्वारा बनाई गई एन-गॉन की परिधि

N-gon = L * n = 12.7 * n mm की परिधि

हालांकि, यह पिन केंद्रों के माध्यम से सर्कल का वर्णन करने के लिए पूरी तरह से सटीक नहीं है । अधिक सटीक सूत्र नीचे दिए गए हैं:

पिन केंद्रों के माध्यम से सर्कल

परिधि = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

त्रिज्या = एल / (2 पाप (180 / एन)) = 6.35 / पाप (180 / एन) मिमी = 'पीसीआरएडी' (पिन केंद्र त्रिज्या)

व्यास = एल / पाप (180 / एन) = 12.7 / पाप (180 / एन) मिमी = 'पीसीडी' (पिन सेंटर व्यास)

अब, हमें दो संबंधित मंडलियों / n-gons का वर्णन करने के लिए अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होगी:

घाटी के फर्श और रोलर टॉप के लिए, हमें पिन के चारों ओर चेन रोलर के त्रिज्या या व्यास को जानना होगा। Http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain के अनुसार , 40 श्रृंखला श्रृंखला में एक रोलर-व्यास 0.312 "(7.92 मिमी) है। चूंकि पिन-सेंटर से घाटी के तल तक की दूरी त्रिज्या है। रोलर:

घाटी के फर्श के बारे में सर्कल / एन-गॉन

rRad = रोलर त्रिज्या (अधिकांश साइकिलों के लिए 3.96 मिमी)

घाटी तल के n-gon की परिधि = 2 * n * (pcRad - rRad) * पाप (180 / /)

= 2 एन * (पीसीआरएड - 3.96) * पाप (180 / एन) मिमी

फ्लोररेडियस = पीसीआरएड - आरआरएडी = पीसीआरएडी - 3.96 मिमी

फ्लोरडिमीटर = 2 * एफआरएडी = पीसीडी - 2 * आरआरएडी = पीसीडी - 7.92 मिमी

श्रृंखला रोलर्स के शीर्ष के सर्कल / एन-गॉन

रोलर टॉप के n-gon की परिधि = 2 * n * (pcRad + rRad) * पाप (180 / /)

= 2 एन * (पीसीआरएडी + 3.96) * पाप (180 / एन) मिमी

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 मिमी

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 मिमी

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

अब, अंतिम सर्कल / n-gon का वर्णन करने के लिए, हमें पिन केंद्रों के ऊपर दांत की ऊंचाई की आवश्यकता है। मैं उम्मीद करूंगा कि यह एक नई चेन रिंग पर सकारात्मक हो और पहना पर नकारात्मक हो:

दांतों की युक्तियों के सर्कल / एन-गॉन

t = पिन केंद्रों के ऊपर दांत की नोक ऊंचाई (नीचे यदि नकारात्मक)

टूथ टिप्स के n-gon की परिधि = 2 * n * (pcRad + t) * पाप (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

वैकल्पिक रूप से, इस संगणना को थोड़ा आसान बनाने के लिए (अभी तक किसी जंजीर की अंगूठी पर थोड़ा कम सटीक), आप अपने स्वयं के व्यक्तिगत दांतों को माप सकते हैं। आदर्श रूप से वे चेन पिच से थोड़े लंबे होंगे, लेकिन चेन बदलते ही वह बदल जाएगी:

दांतों की युक्तियों के सर्कल / एन-गॉन - वैकल्पिक

tSpacing = दांत के सुझावों के बीच की औसत दूरी

दांतों की युक्तियों के n-gon की परिधि = n * tSpacing

tipRadius = tSpacing / (2 पाप (180 / n))

टिपडिमीटर = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Comments

घाटी फर्श और युक्तियों से संबंधित Ehryk के सूत्रों का एक छोटा सुधार। [१] के अनुसार, एक ४० श्रृंखला श्रृंखला में 7.. (मिमी (०.३०६ इंच) का रोलर व्यास होता है। एह्रीक की 41 श्रृंखला श्रृंखला के लिए है। [१]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain

Answer 3

संपादित करें:

मैंने इस प्रश्न को math.se पर पोस्ट किया , और एक दिलचस्प जवाब मिला , जो मूल रूप से अधिक सटीक गणितीय मॉडल के रूप में लैंटियस के उत्तर की पुष्टि करता है, और साइकिल की दुनिया के लिए एक व्यावहारिक सन्निकटन के रूप में मेरा है।

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केवल दांतों की संख्या के साथ, नहीं।

लेकिन इस्तेमाल किए गए चेन रिंग के ब्रांड के लिए श्रृंखला से मेल खाने के लिए दांतों की संख्या और प्रत्येक दांत की नोक से आवश्यक रिक्ति को देखते हुए, आप आसानी से परिधि निर्धारित कर सकते हैं।

परिधि के साथ, यह व्यास को निर्धारित करने के लिए सरल गणित है।

व्यास को पाई से विभाजित करें (3.14159 से 5 वें दशमलव)

सी = डी / 3.14159

तो अगर दांतों की संख्या 53 है, और रिक्ति 12.75 मिमी है, तो हमारे पास 675.75 मिलीमीटर की परिधि है।

3.14159 से विभाजित 675.75 मिलीमीटर 215.1 मिलीमीटर का व्यास देता है। परिवर्तित और गोल 2 स्थानों पर, यह 8.46 इंच है।

मैंने एक 53 टूथ शिमैनो चेन रिंग का व्यास मापा है, और यह 8.51 इंच है। इसलिए मेरा मानना ​​है कि मेरे गणित को मेरे माप में सहनशीलता के समान होना चाहिए।

Comments

बेशक, एक श्रृंखला के साथ आपके पास यह सवाल है कि "व्यास" क्या है - आप इसे कैसे मापते हैं? जब उपरोक्त सूत्र से गणना की जाती है, तो आपको श्रृंखला सर्कल का व्यास प्राप्त करना चाहिए - मूल रूप से वह श्रृंखला जो पिन पिंस का वर्णन करती है - न कि अंतरतम या सबसे बाहरी व्यास।

— डैनियल आर हिक्स

दरअसल, यह संख्या दांत के टिप से लेकर दांत के टिप तक एक वर्नियर कैलिपर के साथ माप पर आधारित है। यह एक परिधि द्वारा वर्णित परिधि है जो प्रत्येक दांत की नोक को छूने के लिए रखी गई है। और मैंने बाहर के व्यास को मान लिया, क्योंकि फ्रेमवर्क के निर्माण के लिए यही बात मायने रखती है।

— zenbike

और आशा है कि यह अण्डाकार नहीं है :-)

— कार्ल

हाँ, अब जब मुझे लगता है कि इसके बारे में एक श्रृंखला पर एक श्रृंखला थोड़ी ढीली होनी चाहिए - चेन खिंचाव के लिए एक (टू क्रूडली) चेक सबसे सामने की कड़ी पर बाहर खींचने के लिए है और देखें कि यह कितना देता है - के बारे में होना चाहिए आधा चेन मोटाई। लेकिन फिर भी आप (सिद्धांत में, कम से कम) अपने सूत्र के साथ सबसे बाहरी व्यास की गणना नहीं करेंगे।

— डैनियल आर हिक्स

@ डैनियल आर हिक्स: वह कैसे है? यह वास्तव में काम करता है, जैसा कि मैंने गणित किया था, और इसे एक भौतिक श्रृंखला की अंगूठी के खिलाफ जांचा, और यह मेल खाता है। क्या मैं इस प्रक्रिया का अच्छी तरह से वर्णन नहीं कर रहा हूँ, हो सकता है?

— ज़ेनबाइक