परिक्रमा के बजाय अण्डाकार क्यों परिक्रमा करते हैं?

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ग्रह एक विशिष्ट अण्डाकार कक्षा में एक तारे के चारों ओर चक्कर लगाते हैं, क्योंकि यह एक foci है? कक्षा क्यों नहीं है?

star orbit planet

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एडुआर्डो के उत्तर ने इसका सबसे अधिक लाभ उठाया। यद्यपि आप भौतिकी एसई पर एक समान प्रश्न के लिए मेरा जवाब देख सकते हैं। Phys.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

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वृत्ताकार कक्षाएँ अण्डाकार कक्षाओं का एक विशेष मामला हैं।

— asawyer

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मान लें कि ग्रह में तारे की तुलना में एक नगण्य द्रव्यमान है, जो दोनों गोलाकार रूप से सममित हैं (इसलिए न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम है, लेकिन यह सामान्य रूप से वैसे भी बहुत अच्छा सन्निकटन होता है), और यह कि उनके बीच गुरुत्वाकर्षण के अलावा कोई बल नहीं है। । यदि पहली स्थिति पकड़ में नहीं आती है, तो प्रत्येक का त्वरण सिस्टम के बायिकेंटर की ओर होने वाला है, जैसे कि बैरियर एक निश्चित कम द्रव्यमान के साथ उन्हें गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षित कर रहा था, इसलिए समस्या गणित के समकक्ष है।

मूल में होने के लिए स्टार लें। न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से, बल , जहां ग्रह का सदिश है, है, इसका है द्रव्यमान, और तारे का मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है। $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

संरक्षण कानून

क्योंकि बल विशुद्ध रूप से रेडियल , कोणीय गति संरक्षित है: यदि प्रारंभिक वेग nonzero है और मूल में तारा है। , तब प्रारंभिक स्थिति और वेग के संदर्भ में, कक्षा को मूल से vectors साथ सभी बिंदुओं के समतल तक सीमित होना चाहिए जो कि satisify $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{एल} = \frac{घ}{घ टी} (आर \times पी) = म (\dot{आर} \times \dot{आर}) + आर \times एफ = 0 ।

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ । यदि प्रारंभिक वेग शून्य है, तो गति विशुद्ध रूप से रेडियल है, और हम अनन्त रूप से कई विमानों में से किसी एक को ले सकते हैं जिसमें बैरियर और प्रारंभिक स्थिति होती है।

कुल कक्षीय ऊर्जा जहां पहला शब्द हिस्सा गतिज ऊर्जा और है दूसरा शब्द ग्रह की गुरुत्वाकर्षण क्षमता है। इसका संरक्षण, साथ ही तथ्य यह है कि यह सही संभावित ऊर्जा को आमंत्रित करता है, लाइन इंटीग्रल के लिए पथरी के मौलिक प्रमेय द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

इ = \frac{{पी}^{2}}{2 म} - \frac{म μ}{आर},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

लाप्लास-रन-लेन-वेक्टर को यह भी संरक्षित है:

ए = पी \times एल - \frac{म^{2} μ}{आर} आर ।

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{ए} & = & एफ \times एल + पी \times \dot{एल} - \frac{म μ}{आर} पी + \frac{म μ}{{आर}^{3}} (पी \cdot आर) आर \\ = & - \frac{म μ}{{आर}^{3}} \underset{(आर \cdot पी) आर - {आर}^{2} पी}{\underset{⏟}{(आर \times (आर \times पी))}} - \frac{म μ}{आर} पी + \frac{म μ}{{आर}^{3}} (पी \cdot आर) आर \\ = & 0 । \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

अंत में, हम भी लेते हैं , जिसकी इकाइयां , और चूंकि , यह कक्षीय तल के साथ स्थित है। के रूप में यह एक संरक्षित वेक्टर द्वारा परिरक्षित वेक्टर है, यह दिखाना आसान है कि रूप में अच्छी तरह से संरक्षित है, जब तक कि । $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

सरल बनाना

वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट को नियोजित करके, हम का मानक-वर्ग जो आसान है क्रैंक आउट: जहां को गतिज और संभावित शब्दों के बीच स्विच करने के लिए उपयोग किया गया था।

\begin{array}{rcl} \frac{1}{म} ए & = & \frac{1}{म} [{पी}^{2} आर - (पी \cdot आर) पी] - \frac{म μ}{आर} आर \\ = & (इ + \frac{{पी}^{2}}{2 म}) आर - \frac{1}{म} (पी \cdot आर) पी \\ इ (च - आर) & = & (\frac{{पी}^{2}}{2 म}) आर - \frac{1}{म} (पी \cdot आर) पी, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

इ^{2} | च - आर |^{2} = {(इ + \frac{म μ}{आर})}^{2} {आर}^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

क्यों एलिप्स?

चूंकि अनन्तता के सापेक्ष ऊर्जा है, एक बाउंड ऑर्बिट के लिए हमें । इस प्रकार, पिछले भाग से; और इसलिए जो foci और प्रमुख अक्ष साथ एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। । $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| च - आर | + | आर | = - \frac{म μ}{इ},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

सर्किल क्यों नहीं?

सर्कल एक विशेष मामला है जहां foci एक ही बिंदु है, , जिसे रूप में पुनर्स्थापित किया जा सकता है दूसरे शब्दों में, गोलाकार कक्षाओं में कक्षीय ऊर्जा की गतिज ऊर्जा का नकारात्मक होना आवश्यक है। यह संभव है, लेकिन लगभग निश्चित रूप से पकड़ नहीं है। चूंकि किसी भी मान को बाध्य कक्षाओं के लिए अनुमति दी जाती है, वहाँ दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं के कई और तरीके हैं। (हालांकि उनमें से कुछ वास्तव में दुर्घटनाग्रस्त हो जाएंगे क्योंकि स्टार और ग्रह का आकार सकारात्मक है।) $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

इ = - \frac{1}{2} \frac{म μ}{आर} = - \frac{{पी}^{2}}{2 म} ।

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

ध्यान दें कि हाइपरबोलिक कक्षाओं में , और हम अभी भी उपरोक्त विधि का उपयोग करके foci पा सकते हैं, हालांकि संकेतों से सावधान रहें। के लिए , दूसरा फोकस अपरिभाषित क्योंकि यह एक अणुवृतीय कक्षा है, और परवलय केवल केंद्र से एक सीमित दूरी के भीतर एक ध्यान केंद्रित किया है। $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

इसके अतिरिक्त, सनकी वेक्टर LRL वेक्टर के लिए एक वैकल्पिक विकल्प है; जैसा कि नाम से पता चलता है, इसका परिमाण कक्षीय विलक्षणता है। $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— स्टेन लिउ
स्रोत

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यह एक ग्रह के लिए एक गोलाकार कक्षा है, एक चक्र है, आखिरकार, एक दीर्घवृत्त है जहां दोनों foci एक ही स्थान पर हैं; यह 0 की सनकी होने के रूप में जाना जाता है । विलक्षणता को निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है: जहाँ अपोफेसिस (कक्षा से सबसे दूर का बिंदु) है द्रव्यमान का केंद्र), और पेरीपेसिस (निकटतम दूरी) है। बस यहां कुछ अंतर्ज्ञान का निर्माण करने के लिए, अगर एपोप्सिस पेरीपेसिस की दूरी से दोगुना है, तो सनकी ।

इ = \frac{{आर}_{ए} - {आर}_{पी}}{{आर}_{ए} + {आर}_{पी}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

सौर मंडल के सभी ग्रहों में से 0.007 के विलक्षणता वाले शुक्र की सबसे अधिक गोलाकार कक्षा है।

जैसा कि सभी कक्षाओं में गोल नहीं हैं, यह गतिज ऊर्जा के लिए नीचे आता है । गतिज ऊर्जा गति के वर्ग के समानुपाती होती है। कक्षीय तल में और तारे के बारे में ध्रुवीय निर्देशांक में, हम यह विघटित कर सकते हैं कि यह रेडियल वेलोसिटी और कोणीय वेग संयोजन में है : चूंकि वृतों में स्थिर त्रिज्या है, कक्षा के चारों ओर चक्कर लगाने के लिए, ग्रह का रेडियल वेग बिल्कुल शून्य होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, कोणीय गति ऐसी होनी चाहिए कि कोरोटिंग फ्रेम में केन्द्रापसारक बल गुरुत्वाकर्षण बल को बिल्कुल संतुलित करता है - थोड़ा अधिक या थोड़ा कम, असंतुलन रेडियल वेग को बदल देगा, चक्र को खराब कर देगा। $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{आर}}^{2} + {आर}^{2} {\dot{φ}}^{2} ।

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$

इस तथ्य को देखते हुए कि वेग बड़ी संख्या में कारणों से भिन्न होते हैं, यह कोई आश्चर्य नहीं है कि केवल कुछ कक्षायें ही गोलाकार होती हैं, और यह देखते हुए कि वास्तविक परिक्रमाएं समय के साथ बदलती हैं , हम जानते हैं कि वे लंबे समय तक इस तरह नहीं रह सकते हैं।

यदि आप गणितीय प्रमाण की तलाश में हैं, तो यह लिंक इसके बारे में कुछ विवरण साझा करता है ।

यहाँ से निकाले गए सौर मंडल में कुछ निकायों की विलक्षणता दिखाने वाली एक छवि है :

कुछ सौर मंडल निकाय और उनके अंश

— एडुआर्डो सेरा
स्रोत

यह पूरी तरह से गलत है: "कक्षा के चक्कर लगाने के लिए, ग्रह की गति कक्षा में होने के लिए आवश्यक न्यूनतम न्यूनतम होनी चाहिए; ... थोड़ा कम और यह जिस ग्रह की परिक्रमा कर रहा है उसमें दुर्घटना होगी।" अनुच्छेद भी क्या कक्षाओं के बारे में बहुत उलझन में है क्या। जाहिर है, वे रेडियल गति को कम करते हैं , लेकिन यह अलग है और गतिज ऊर्जा चर्चा से नहीं जुड़ता है। रेडियल और कोणीय भागों में गतिज ऊर्जा को तोड़ते हुए, परिपत्र परिक्रमा भी प्रभावी क्षमता को कम करती है यदि कोणीय गति तय की जाती है।

— स्टेन लिउ

@ आप एक संपादन का प्रस्ताव कर सकते हैं या अपना जवाब दे सकते हैं। क्या आप इस बारे में विस्तार से जा सकते हैं कि यह कथन गलत क्यों है? यदि कोई उपग्रह एक वृत्ताकार कक्षा का वर्णन कर रहा है और आप इसे धीमा कर रहे हैं, तो यह ग्रह में दुर्घटनाग्रस्त हो जाएगा; यदि आप इसे गति देते हैं, तो यह फार्म और अण्डाकार कक्षा का निर्माण करेगा।

— एडुआर्डो सेरा

एक गोलाकार कक्षा में । उपग्रह की गति में एक छोटा सा परिवर्तन इन मात्राओं में एक छोटा सा परिवर्तन करने जा रहा है। उपग्रह तभी दुर्घटनाग्रस्त होगा जब उसका नया ग्रहीय त्रिज्या से कम या बराबर होगा। वातावरण, लेकिन चूंकि परिवर्तन छोटे हैं, यह केवल तभी हो सकता है जब उपग्रह कक्षा पहले से ही लगभग ग्रह को गले लगा रहा था। ... मैं एक संपादन का सुझाव देता हूं जो गतिज ऊर्जा को टाई-इन रखता है।

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

— स्टेन लिउ

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@EduardoSerra - एक ऑब्जेक्ट को एक गोलाकार कक्षा में धीमा कर देता है और यह पूर्व गोलाकार कक्षा त्रिज्या के साथ एक अण्डाकार कक्षा में होगा जो अब सर्वव्यापी दूरी है।

— डेविड हैम्मन

1

मैं हमेशा ऐसे उत्तर पसंद करता हूं जो किसी भी फॉर्मूले से बचने की कोशिश करें और इसके बजाय तर्क पर जवाब दें। इस सवाल के भाग के बारे में कि सभी कक्षाएँ गोलाकार क्यों नहीं हैं, एक तर्क इस तरह होगा:

एक स्थिर तारा और एक गतिमान ग्रह पर विचार करें। प्रत्येक आवेग के लिए ग्रह हो सकता है, इसके आगे के आंदोलन के लिए एक वक्र की भविष्यवाणी की जा सकती है। यदि यह आवेग स्टार से ग्रह की रेखा तक ऑर्थोगोनल को निर्देशित किया जाता है , और यदि वेग की सटीक मात्रा है , तो यह घुमाव की वक्र एक सटीक सर्कल हो सकता है।

लेकिन इस एक सटीक आवेग के प्रत्येक विचलन के लिए, परिणामस्वरूप वक्र एक चक्र नहीं हो सकता है:

यदि गति बहुत कम है, तो ग्रह तारा की ओर गिर जाएगा (शून्य के आवेग के चरम मामले में, यह गिरावट एक सीधी रेखा में होगी)।
यदि गति बहुत अधिक है, तो ग्रह तारा (गुलेल के समान) से दूरी प्राप्त करेगा।
यदि आवेग सीधे स्टार के लिए लाइन के लिए ऑर्थोगोनल नहीं है, तो पहला आंदोलन स्टार की ओर या उससे आगे बढ़ जाएगा, इसलिए फिर से वक्र एक सर्कल नहीं होगा।

तो, एक बस बहस कर सकता है, एक चक्र वक्र के लिए एक विशेष मामला है जो एक ग्रह एक तारे के चारों ओर ले जा सकता है।

— Alfe
स्रोत

(1) प्रारंभिक ओर्थोगोनलिटी तर्क एक अच्छी शुरुआत है। (२) लेकिन "गति बहुत कम है / उच्च]" विचार अनुचित हैं: किसी को यह कैसे पता चलेगा कि एक ही दूरी के लिए कई गति पर गोलाकार कक्षाएँ रुक गईं? गुरुत्वाकर्षण और केन्द्रापसारक बलों को संतुलित करके कई गति की संभावना के खिलाफ तर्क दिया जा सकता है, लेकिन फिर दोनों (1) और (2) वास्तव में एडुआर्डो सेरा के जवाब में उल्लिखित हैं।

— स्टेन लिउ

तो आपका मतलब है कि कोई इस धारणा के तहत हो सकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल इस अर्थ में एक तंग रस्सी की तरह हो सकता है कि यह ग्रह पर तारे की ओर अधिक बल लागू करेगा जब ग्रह को एक वृत्ताकार पथ पर रखने के लिए "बल" की आवश्यकता हो। ? हम्म ... हाँ, आम आदमी की पृष्ठभूमि पर निर्भर करता है कि यह क्या हो सकता है। धारणा के लिए धन्यवाद; शायद मैं इस मुद्दे को हल करने के लिए अपने उत्तर को बेहतर बना सकता हूं!

— एल्फ